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MMOIRES PRSENTS. 



analyse mathmatique. Sur les jonctions algbriques; par M. Hehmite. 

 (Renvoi l'examen de la Section de Gomtrie.) 



1. Les propositions donnes par M. Puiseux, sur les racines des qua- 

 tions algbriques considres comme fonctions d'une variable z, qui entre 

 rationnellement dans leur premier membre, me semblent ouvrir un vaste 

 champ de recherches destines jeter un grand jour sur la nature analy- 

 tique de ce genre de quantits. Je me propose de donner ici le principe de 

 ces recherches, et de faire voir comment elles conduisent reconnatre si 

 une quation quelconque 



F (m, z) = o 



est rsoluble algbriquement, c'est--dire si l'inconnue u peut tre expri- 

 me par une fonction de la variable z , ne contenant cette variable que sous 

 les signes d'extraction de racines de degr entier. Les thormes auxquels 

 nous serons ainsi amens donneront, et sous un point de vue entirement 

 nouveau, le beau rsultat obtenu par Abel sur la possibilit d'exprimer al- 

 gbriquement sin am ( - ) par sin am ( x) . Je me borne ici la question de 



la rsolution par radicaux; plus tard je ferai, au mme point de vue, l'- 

 tude des quations modulaires, et je montrerai comment les thormes de 

 M. Puiseux conduisent effectuer l'abaissement de ces quations dans les 

 cas annoncs par Galois, dont les principes serviront d'ailleurs de base a 

 tout ce que nous allons dire. 



2. Soit 



<S>(z) = o 



l'quation dont les racines , mises pour z dans l'quation propose 



F(u, z) o, 



lui font acqurir des racines multiples; dsignons ces diverses valeurs de z 

 par 



Z , Z,,. .., Z^_ i , 



et, aprs avoir trac dans un plan deux axes rectangulaires reprsentons- 

 les par autant de points que nous nommerons respectivement 



^0> ^il-'-l ^/ l 



