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Le degr de l'quation propose F(m,z) = o tant un nombre 

 quelconque m , supposons que les divers systmes circulaires de M. Pui- 

 seux soient tous identiques en embrassant toutes les racines, ou bien 

 qu'ils soient rductibles tous aux puissances d'une mme substitution cir- 

 culaire d'ordre m, suivant l'expression employe par M. Cauchy, l'quation 

 propose sera rsoluble par radicaux relativement z. 



En effet, si l'on dsigne par a une racine quelconque de l'quation 

 binme a m = i , la fonction suivante ; 



{u + a u t + a 2 m, -+- . . . + a" 1 -' m _, )'", 



reprendra toujours la mme valeur initiale, quel que soit le contour ferm 

 qu'ait dcrit le point mobile P en revenant sa premire position ; donc 

 cette fonction sera dterminable rationnellement en z; donc, etc. 



4. Actuellement supposons que le degr m soit un nombre premier, 

 la condition ncessaire et suffisante de solubilit par radicaux, consiste en 

 ce que toute fonction des racines invariables par les substitutions de cette 

 forme spciale, savoir : 



lt ak+bt ) 



a et b tant tous les entiers pris suivant le module m, ainsi que l'indice 

 variable /c, soit rationnellement connue. 



Donc, d'aprs le thorme 2, la condition ncessaire et suffisante de 

 solubilit , revient ce que : 



Les substitutions S,, S 2 ,..., S^_ ,, donnes parles principes de M. Pui- 

 seux, soient toutes de la forme ci-dessous : 



"a, \ 



u ak + t- ) 



Pour tablir, de la manire la plus simple, la possibilit de la 'rsolu- 

 tion par radicaux, je raisonnerai ainsi : 

 Posons 



<p (a) = {u -+- au, -+- a 2 j+...+ a" 1- "' w m _,) m ; 



et dsignons paV p une racine primitive pour le nombre premier m ; en 

 employant une racine |3 de l'quation fi m ~' = 1, nous considrerons la 

 nouvelle fonction rsolvante, 



T=[ ? (a) + /3 ? (aO + J3 2 (p(aP')+...+ ^- a ? (a p "~ , )] n - , , 



