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voyager, pour ainsi dire, sur toutes ces surfaces, avec la mme facilit 

 qu'autrefois sur le plan et sur la sphre. 



Le travail que je prsente aujourd'hui me'parat indiquer un nouveau 

 pas faire dans la mme direction : car il ne s'agit plus seulement d'tudier 

 tel systme de coordonnes curvilignes, de l'utiliser pour en dduire les 

 proprits des surfaces et des lignes qui le composent; il s'agit de modifier 

 ce systme lui-mme, d le transformer de telle manire, que, conservant 

 certains lments, il puisse jouir, en outre, de telle proprit qu'il n'avait 

 pas d'abord. Il y a l toute la diffrence qui existe entre l'tat statique et 

 l'tat dynamique. C'est, au reste, une application, sous un point de vue 

 nouveau, de l'ide fondamentale des variations, qui justifie le titre que je 

 donne ce Mmoire. 



gomtrie. analytique. Suite des recherches sur les osculations d'ordres 

 suprieurs; par M. Charles Dupin. 



. I er . Recherche des lignes diamtrales. 



>< Supposons qu' partir d'un point P pris sur un arc de courbe quel- 

 conque, je trace toutes les cordes parallles sa tangente en ce point. Les 

 milieux de ces cordes formeront une ligne qui ne sera droite que dans cer- 

 tains cas particuliers, comme pour les courbes du second degr. En gnral, 

 ces milieux formeront une nouvelle courbe. 



La tangente de cette courbe, au point primitif P, sera ce que j'appelle 

 la ligne diamtrale de la courbe primitive partir du point P. 



Exprimons par u = 6 S, la droite tangente en P la courbe qi passe 

 par le milieu des cordes parallles, v et tant des coordonnes courantes; 

 il s'agit de trouver 0. 



La courbe primitive ayant pour coordonnes x et y, et son quation 

 gnrale tant y == $(.r), remplaftns x pari -f- x. Si nous dveloppons 

 la fonction $ par rapport x $ nous aurons 



Nous transporterons au point P de la courbe l'origine des coordonnes, 

 en faisant i = o. Si nous reprsentons par <p', <p", y'",.- , ce que deviennent 

 alors $', $", $'",..., nous aurons 



. (,)' r=s ^.f + ? ..| +T ..JL + ^ T4 + ... f . 



quation dans laquelle <p', <p", cp'" sont devenues des constantes.. 



C. H. , i85i, i Semestre. (T. XXXII, N i6.) .^5 . 



