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 pour 5L sa valeur- 3 . '' ' "S nous trouverons en rduisant, 

 r*l 3R"R y 



ou 



? - * = ET' 



-R 



a* 



et ($>' tant suppos nul) 



rfil 3"' R? R' R 



[6] ... u-y=-- 



*-R'-R,R |R" , R,-R. 



Ces valeurs nous conduisent des consquences importantes : 



R R 



I. Dans tous les cas, si-flT l~ = o, l'ordonne vy est infi- 



"// 

 nie; la courbe du second degr qui jouit d'un contact du quatrime ordre 



avec la courbe primitive, ayant son centre l'infini, est une parabole. 



II. <p" tant suppos positif et par consquent aussi R,, si R f-|R ;/ - ) 



est positif, l'ordonne u y est elle-mme positive. Alors le centre de 

 figure est en dedans de la concavit de la courbe primitive, et la courbe 

 du second ordre surosculatrice est une ellipse. 



III. Si la quantit R ff (f R ' . ? ) est ngative, la courbe du second 



ordre surosculatrice est une hyperbole. 



Ces proprits conduisent la construction l plus lgante. 



Menons du point P, d'une courbe quelconque, jusqu'en M sur R ( ., une 

 perpendiculaire la droite qui joint les centres C, et C . 



i. Si la distance C,M == AR tf , la courbe surosculatrice au quatrime 

 ordre en P, de la courbe primitive, est une parabole; 



>. Si -f R ff C,M est de mme signe que R, la courbe surosculatrice 

 au quatrime ordre est une ellipse; 



3. Si f R C,M est de signe contraire R w , la courbe surosculatrice 

 est une hyperbole. 



La quantit R Ur k - ^ = |RJ - R,R,)' si R, et R sont de signe 



contraire, devient ncessairement positive. Donc, dans ce cas, quelle que 

 soit la grandeur des rayons R,, R ;/ , R w , la courbe surosculatrice est toujours 

 une ELLIPSE. 



