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 dpendent seulement des facteurs p, q, r, etc., et l'on a 



ainsi 



"-=(-?) ('-)(' 1 ^- 



B,, B 3 , B 5 , B T , etc., sont les nombres de Bernoulli ~, -3^, ^j, $, etc. 

 En dveloppant les deux membres de cette quation en puissances 

 ngatives de x, et en comparant les coefficients des mmes puissances, on 

 trouve ces relations 



n=Zr)= P_,N, 



2lY) =P_,N 2 , 



3r) 2 = P_ t N 3 + 3B,P,N, 

 ^v^P-.N' + ^B.P.N 2 , 



3 



etc. 



o 2y] s = 5- -H yj -H vj^ -f- . . . H- j^" est la somme des puissances du degr 



entier g de tous les nombres j htrognes et infrieurs N. 



La loi de ces formules peut tre symboliquement reprsente par 



gln^ =^p[(N + BP)* + ^ - BP)*], 



sous la condition de remplacer, dans le dveloppement algbrique des 



binmes, g^N* par P_, N*, et tout autre terme B ih ~' P 2/ '-' par B 2/i _, P aA _ t . 



On verra, dans le Mmoire, l'origine de ces formules et les rapports qu'elles 

 prsentent avec celles de Bernoulli, pour la sommation des puissances g 1 

 de la suite des nombres naturels. La premire des quations (H) ne fait 

 que reproduire le nombre d'Euler, 



ra _ N(/?-i)(?-i)(r-i)... ; 

 pqr... 



mais il se prsente dans nos formules comme la somme 2 >j des puissances 

 du degr zro des nombres >j, et par des considrations trs-diffrentes de 

 celles qui ont servi le dmontrer. Les autres formules donnent la somme 

 de tous les nombres htrognes, ou la somme de leurs carrs, ou, etc. Ces 

 formules paratront d'une assez grande simplicit, eu gard la complica- 

 tion qui rgne dans la srie des nombres y < N. On prouve facilement que 



