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ne 1827 dans le second volume des Exercices de Mathmatiques, et dans 

 le Mmoire du 27 novembre i83, permettront d'effectuer les dveloppe- 

 ments et les transformations demandes, et d'tablir les conditions de 

 convergence des sries obtenues. 'Entrons ce sujet dans quelques dtails. 

 Soient x, y les coordonnes rectangulaires, r, p les coordonnes po- 

 laires, et 



z = x -h yi = re pl 



la coordonne imaginaire d'un point mobile Z. Soit encore y (z) une fonc- 

 tion de z, dont la valeur soit unique et dtermine, quand elle ne devient 

 pas infinie, et dont la diffrentielle divise par dz fournisse un rapport qui 

 dpende uniquement des variables relles x, y. Soit enfin S l'aire d'une 

 portion du plan des x, y, nommons PQR le contour qui renferme cette 

 aire, et dsignons par (S) l'intgrale ff(z)dz tendue tous les points de 

 ce contour que nous supposerons parcouru par le point mobile Z avec un 

 mouvement de rotation direct autour de l'aire S. En vertu d'une formule 

 que .j'ai donne dans le Mmoire de 1 83 1 (page 9), on aura 



(,) (S)=znil(f(z)), 



le signe (L indiquant la somme des rsidus def(z) relatifs aux valeurs de z 

 qui vrifient l'quation 



et correspondent des points renferms dans l'aire S. 



Il est bon d'observer que l'quation (1) peut servir dduire ou l'in- 

 tgrale curviligne (S) du rsidu intgral c, {/{%)), ou ce rsidu lui-mme 

 de l'intgrale (S). Dans ce dernier cas, l'quation (1) doit tre prsente sous 

 la forme 

 (3) (/(*)) = ^(S). 



Si l'on suppose que, j\z) tant une fonction transcendante, l'qua- 

 tion (2 1 offre une infinit de racines z t , z 2 , z 3 ,... dont quelques-unes offrent 

 des modules infiniment grands, le premier membre de l'quation ( 3) offrira 

 la somme d'un certain nombre de termes d'une srie simple ou multiple. 

 Si, dans la mme hypothse, on fait crotre, dans un rapport donn k, le 

 rayon vecteur men aux divers points du contour PQR qui renferme 

 l'aire S, ce contour se dilatera, en demeurant semblable lui-mme. Cela 



