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Supposons, pour fixer les ides, la surface S comprise entre les circon- 

 frences dcrites de l'origine comme centre avec les rayons R et r > R, et 

 posons 



(16) H^r eP\ v = Re'> i , P =uf(u), P = vf{v). 



Alors, la place de la formule (6), on obtiendra la suivante : 



(, 7 ) l {/(z)) = 3L(P)-3L(P ). 



('; c-ij 



Concevons maintenant que J'on attribue la fonction f{z) des formes 

 particulires, et supposons d'abord 



M = ^ 



t tant la coordonne relle ou imaginaire d'un certain point T. On aura, 

 si le point T est extrieur la surface S, 



(8) tw=l%' 



et, si le point T est intrieur la surface S, 



(i9) [/(*)) = ^M(0- 



Dans cette hypothse, l'quation (17), jointe aux formules (16), donnera 



(R) <*J 



t Z V t t u 



(o) 9(0= i ^+**HS+^- 



D'ailleurs, le module de t tant, par hypothse, suprieur au module de u 



et infrieur au module de v, les deux rapports , - seront dvelop- 



pables, le premier suivant les puissances ascendantes nulle et positives de la 

 variable t, le second suivant les puissances descendantes et ngatives de la 

 mme variable. Donc, si <p (z) est une Jonction dont la valeur, quand elle 

 demeure finie, soit toujours unique et dtermine, et si le rapport diff- 

 rentiel de cp(z) la variable z dpend uniquement de cette variable, alors 



