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part la seconde des quations 



et qui, d'ailleurs, offrent des modules compris entre les limites r , R, 

 tandis que m i reprsente le nombre des radines gales z, ; m u le nombre 

 des racines gales z r/ ;..., m' le nombre de racines gales z';... et m la 

 diffrence entre les deux nombres qui expriment, pour les deux quations 

 dont il s'agit, combien il existe de racines gales ou ingales qui offrent des 

 modules infrieurs r . Ajoutons que les valeurs de T et T peuvent tre 

 facilement dtermines l'aide des formules 



(a5 ) ' TWat kw]^L r =ai U^llU 



La formule (22) est fconde en rsultats qui paraissent dignes d'attention, 

 surtout lorsqu'on l'applique aux fonctions double priode et, en parti- 

 culier, aux fonctions elliptiques. O11 doit remarquer le cas o l'on sup- 

 pose r = o, i=oo . Alors, en effet, comme je l'expliquerai plus en dtail 

 dans un prochain article, on dduit immdiatement de cette formule, non- 

 seulement une dcomposition des fonctions elliptiques en facteurs simples 

 que l'on peut combiner entre eux par voie de multiplication de manire 

 reproduire les beaux thormes de M. Jacobi, mais encore un grand 

 nombre de rsultats du mme genre et qui semblaient plus difficiles a 

 obtenir. 



J'examinerai aussi ce qui arrive, quand on suppose 



>6) 



/( Z ) = X (z) ><'-">?(,<*)<*>, " 



( a7 ) y ( z) = x (z)jr e '(<-^(^^, 



t tant une variable relle comprise entre les limites a, h. On verra, dans 

 cette hypothse, les formules ci-dessus tablies reproduire et mme tendre 

 les thormes noncs dans le second volume des Exercices de Mathma- 

 tiques (pages 344 et suivantes), relativement au dveloppement des fonc- 

 tions en sries dont les divers termes dpendent des diverses racines d'une 

 quation transcendante ; et l'on remaYquera que, pour dmontrer facilement 



