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 valeur principale. Il y a plus, en partant on de la formule (8) on des for- 

 mules gnrales tablies dans le I er , on pourra reprsenter une fonction 

 entire ou mme rationnelle quelconque de sin z et de cos z, par une fac- 

 torielle qui sera le produit d'une infinit de facteurs simples, ou par le rap- 

 port de deux produits de cette espce. 

 Observons encore que, si l'on pose 



S = sin z, t = cos z, 



s et t, considrs comme fonctions de z, seront simplement deux variables 

 assujetties, i varier avec z par degrs insensibles ; 2 vrifier, quel que 

 soit z, les deux quations 



(9) ds tdz, (10) s 2 -4- t 2 = 1 ; 



3 prendre, pour z == o, les valeurs particulires 



(11) s =5 o, *= 1; 



et que, pour obtenir la dcomposition des fonctions s, t en facteurs simples, 

 il suffira de leur appliquer les formules tablies dans le I er , aprs avoir 

 dduit la priodicit de ces fonctions, les racines des quations sin z = o, 

 cos z = o , et l'indice de priodicit 1 n de la variable z, des principes expo- 

 ss dans les Comptes rendus de 1846, relativement l'intgration curviligne 

 des quations diffrentielles. 



Appliquons maintenant nos formules quelques-unes des transcen- 

 dantes nouvelles qui reprsentent les fonctions inverses des intgrales 

 curvilignes des quations diffrentielles, par exemple aux fonctions ellip- 

 tiques; et pour fixer les ides, supposons que y (z) se rduise ce qu'on 

 nomme le sinus de l'amplitude de la variable z, en sorte qu'on ait 



tp (z) = sin am s. 



Comme je l'ai remarqu dans le Mmoire du ia octobre 1846, ce sinus 

 sera non pas la valeur de s que dtermine la formule 



f z=f S r ds , 



dans laquelle on suppose k renferm entre les limites o, 1, mais la valeur 

 de s que fournira l'intgration de l'quation diffrentielle 



(i3) ds = tdz, 



