( *78 ) 

 algbrique, il est clair qu'en vertu de la rvolution dont il s'agit les di- 

 verses racines se trouveront substitues les unes aux autres, et, par consquent, 

 changes entre elles suivant le mode indiqu par une certaine substitution. 

 D'ailleurs une substitution quelconque peut toujours tre dcompose en 

 facteurs ou substitutions circulaires dont elle est le produit (voir les 

 Comptes rendus, anne i845, tome XXI, page 600). Donc les racines u t , 

 u 2J u,,...,eu gard aux changes oprs entre elles pendant la rvolution du 

 point mobile Z autour d'un point isol C, peuvent tre distribues, comme 

 le dit M. Puiseux, en un certain nombre de systmes circulaires . 



Au reste, M. Puiseux ne s'est pas born dduire des principes tablis 

 par l'un de nous les diverses consquences que nous venons d'noncer; 

 il a encore, et c'est l surtout ce qui constitue la nouveaut et l'impor- 

 tance de son travaU, dtermin les substitutions qui expriment les changes 

 oprs entre les diverses valeurs de u, pendant la rvolution du point 

 mobile Z autour d'un point isol C, correspondant des racines gales 

 de l'quation algbrique donne. Le mode de dtermination employ par 

 M. Puiseux s appuie sur une proposition qui peut tre nonce dans les 

 termes suivants: Les valeurs de u qui deviennent gales entre elles quand le 

 point Z concide avec le point C, acquirent gnralement, dans le voisinage 

 de ce point, des accroissements infiniment petits ; et, dans la recherche de 

 celles qui se trouvent changes entre elles, (juan le point Z tourne autour 

 du point C, on peut, sans inconvnient, rduire les accroissements dont il 

 s'agit des valeurs approches, en ngligeant les infiniment petits d'ordre su- 

 prieur vis--vis les infiniment petits d'ordre moindre. Ajoutons que, si plu- 

 sieurs valeurs de u deviennent infinies quand le point Z concide avec le 

 point C, on pourra, dans le voisinage du mme point, dduire la substitution 

 qui indiquera les changes oprer, de la considration des valeurs appro- 

 ches de u, dans lesquelles on ngligera les quantits infiniment grandes d'un 

 ordre moindre vis--vis des quantits infiniment grandes d'ordre suprieur. 

 D'ailleurs, au lieu de recourir cette seconde proposition, on peut, quand 

 plusieurs valeurs de u deviennent infinies pour une valeur donne c de z, 

 dcomposer, comme l'a fait M. Puiseux, la fonctior u en deux, dont l'une 

 soit une fonction entire de z, et l'autre une fonction nouvelle v qui ac- 

 quire des valeurs gales, mais finies, pour z = c. 



M. Puiseux ne s'est pas born rechercher les proprits des fonctions 

 algbriques d'une variable imaginaire; il s'est encore propos de dter- 

 miner les diverses valeurs de leurs intgrales dfinies, et d'appliquer cette 



