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contraire, d'quations analogues aux formules tablies ci-dessus (voir le 

 Mmoire du a4 septembre, pages 56o, 56 1 et 56a). Dans le Mmoire dont 

 ce passage est extrait , et dont une partie seulement a t insre dans les 

 Comptes rendus, les intgrales singidires taient dites du premier ou du 

 second ordre, suivant que l'aire dont le contour tait dcrit par le point 

 mobile Z offrait une dimension ou deux dimensions infiniment petites. Les 

 intgrales que M. Puiseux nomme lmentaires ne sont autre chose que des 

 intgrales singulires du premier ordre. 



F ..es principes que nous venons de rappeler permettent de fixer aisment la 

 valeur de l'intgrale ff(z) dz tendue au contour d'une aire quelconque S, 

 ou mme une ligne de forme quelconque. Ainsi, en particidier, la mthode 

 dduite de ce principe, dans le Mmoire du 26 octobre 1846, permet de 

 rduire la dtermination des intgrales curvilignes la dtermination d'int- 

 grales rectilignes, non-seulement dans le cas o f (z) serait une fonction 

 explicite de z, mais encore, comme il est ais de le voir, dans le cas mme 

 o y (z) deviendrait une fonction implicite de z. H y a plus, cette mthode 

 permet de rduire Y intgration rectiligne la dtermination des intgrales 

 curvilignes d'un systme quelconque d'quations diffrentielles. 



Quand on se borne l'valuation des intgrales dfinies del forme fudz, 

 tendues aux divers points d'une courbe continue, on doit surtout remar- 

 quer le cas o u est une fonction algbrique assujettie vrifier une cer- 

 taine quation 



/(*, z) = o, 



et varier avec z par degrs insensibles; alors, comme il est dit dans le 

 Mmoire du 11 octobre 1846, si le point mobile Z, aprs avoir effectu 

 une, deux, trois rvolutions dans une courbe ferme, revient sa position 

 primitive P, l'intgrale fudz tendue la courbe entire, et dtermine 

 aprs la premire, aprs ta deuxime, aprs la troisime rvolution, offrira 

 des valeurs qui ne seront pas gnralement gales entre elles. Nanmoins, 

 si, aprs un certain nombre de rvolutions du point mobile la fonction u re- 

 prend la valeur qu'elle avait d'abord, partir de cet instant les valeurs 

 dj obtenues de l'intgrale t == fu dz se reproduiront dans le mme ordre, 

 quelle que soit d'ailleurs la position initiale P du point mobile Z. Donc 

 alors z sera une fonction priodique de t. Quant aux indices de piiodicit, 

 ils seront gnralement reprsents par des intgrales dfinies qui pourront 

 se dduire d'un thorme prcdemment nonc, savoir, que, si la courbe en- 

 veloppe d'une certaine aire S vient varier sans cesser de passer par le 



