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cdurbe ferme qui renferme dans son intrieur tous les points isols, 

 M. Puiseux dmontre que l'intgrale fudz tendue cette courbe entire 

 pourra tre exprime l'aide du rsidu de la fonction u relatif une valeur 

 nulle de z. 



tars avoir ainsi dvelopp et perfectionn la thorie gnrale des 

 intgrales curvilignes des fonctions algbriques et de leur dcomposition 

 en intgrales lmentaires, M. Puiseux a consacr la dernire partie de son 

 Mmoire la dtermination du nombre des diverses valeurs que peuvent 

 acqurir ces intgrales, et du nombre des indices de priodicit, ou, autre- 

 ment dit, des priodes distinctes qui peuvent s'ajouter ces valeurs. Il 

 observe avec raison qu'ici se prsentent plusieurs questions, et en particulier 

 les suivantes : 



i. Trouver toutes les priodes distinctes qui appartiennent une va- 

 leur de l'intgrale fudz; 



i. Reconnatre si chaque priode appartient toutes les valeurs de 

 l'intgrale, ou seulement une partie d'entre elles; 



3. Dterminer les valeurs de l'intgrale qui restent distinctes lorsqu'on 

 l'ait abstraction des multiples entiers des priodes. 



M. Puiseux est parvenu rsoudre ces questions dans le cas dj 

 trs-tendu o l'on suppose une fonction entire de u quivalente une 

 fonction rationnelle de z. 



Il trouve que, dans ce cas, u t tant une des valeurs de la fonction u 

 dtermine par une quation algbrique du degr rn, l'intgrale prise 

 partir d'une origine donne, offre m valeurs distinctes auxquelles peuvent 

 s'ajouter des multiples entiers quelconques, positifs ou ngatifs, de priodes 

 dont le nombre est gnralement gal au produit de m par n i , 

 //dsignant le nombre des points isols ou principaux. De plus, en s'ap- 

 puyant sur l'un des deux thormes que nous avons ci-dessus rappels, il 

 prouve que le second facteur n i peut tre rduit n i, dans le cas 

 o, h tant dveloppable pour de grands modides de z suivant les puis- 

 sances ascendantes de -> le terme proportionnel la premire de ces puis- 

 sances s'vanouit. 



En appliquant ces propositions, ou plutt les mthodes desquelles on 

 les tire, au cas spcial o l'on a m a, M. Puiseux retrouve non-seulement 

 les priodes et diverses proprits connues des fonctions elliptiques, ces 

 proprits taient rendues manifestes par des formules analogues celles 



