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 [i et v tant les coordonnes d'un point situ dans l'intrieur de l'aire A. 

 Le rapport de la somme S la quantit N a- ' se rduira sensiblement 

 l'intgrale double 



fff({L,v)dixdv, 



tendue tous les points de l'aire A. 



Il est bon d'observer que la srie qui a pour terme gnral /{m, n) 

 se transformera en une srie simple, si l'on attribue successivement au 

 nombre entier n diverses valeurs, en laissant m invariable. Concevons, pour 

 fixer les ides, que, m tant de la forme ;xN, et N trs-considrable, la 

 somme 



S = Sf(m, n) 



s'tende toutes les valeurs entires de n comprises entre les limites v,N, 

 v 2 N, les quantits v, , V* pouvant tre affectes du mme signe ou de signes 

 contraires. Alors, en raisonnant comme dans le thorme i er , on trouvera 

 sensiblement pour de grandes valeurs de N, 



(4) ' ^ = jf%(F, v)rfv. 



Le thorme a pourrait tre videmment tendu au cas o il s'agirait 

 non plus d'une srie double, mais d'une srie triple, quadruple, etc. Seule- 

 ment alors on devrait remplacer les sommes ou intgrales doubles par des 

 sommes ou intgrales triples, quadruples, etc., la quantit N a ~' par la 

 quantit N 3- *, ou N 4- *,..., et l'aire A par ce que nous avons nomm dans 

 d'autres Mmoires un lieu analytique. 



Si l'on suppose dans le thorme i er , ou dans la formule (4), l i, 

 on trouvera 



(5) = ["?() 



dv, 



ou 



(6) * = J ' ?(p, v)A. 



Pareillement, si l'on suppose dans le second thorme, / = 2, on trouvera 



(7) =//?(f*,v)^*A, 



l'intgrale double tant tendue tous les points de l'aire A; etc. 



Les formules (5) et (7) comprennent, comme cas particuliers, 



