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sera ce qu'on doit naturellement appeler une fonction double priode, si 

 elle ne varie pas, quand on fait crotre ou dcrotre l'abscisse x d'un mul- 

 tiple de a, ou l'ordonne y d'un multiple de b\ et il est clair que, dans 

 ce cas, u reprendra la mme valeur quand on substituera aux coordonnes 

 d'un point situ dans le paralllogramme ABGD, les coordonnes d'un point 

 homologue situ de la mme manire dans l'un des autres paralllogrammes 

 lmentaires. Si d'ailleurs on veut que la fonction u satisfasse la condition 

 de rester toujours continue, tant qu'elle ne deviendra pas infinie, il ne suf- 

 fira pas que cette condition se trouve remplie, quand le point Z sera int- 

 rieur au paralllogramme; il sera encore ncessaire que u reprenne la mme 

 valeur quand, aprs avoir plac le point Z sur l'un des cts du paralllo- 

 gramme, on le transportera sur le ct oppos, en lui faisant dcrire une 

 droite parallle l'un des axes coordonns. 



Ajoutons que si la fonction u, suppose doublement priodique, est 

 assujettie la seule condition de rester finie et continue tant que le point Z est 

 renferm dans l'intrieur du paralllogramme ABCD, on pourra gnra- 

 lement la dvelopper en une srie double ordonne suivant les puissances 

 ascendantes et descendantes des exponentielles 



e axi , e 6 -"', 

 les valeurs de a, tant 



a ~~ b 



Supposons maintenant que, les coordonnes x, y tant rectangulaires, 

 on nomme z une variable imaginaire lie aux variables x, y, par la 

 formule 



z = x -+- y'\. 



La position du point mobile Z sera compltement dtermine par la coor- 

 donne imaginaire z, et pour que u soit fonction de x, y, il suffira que u 

 soit fonction de z. D'ailleurs, pour que la fonction de z, dsigne par u, 

 soit doublement priodique, il suffira qu'elle reprenne la mme "valeur 

 quand le point Z, suppos d'abord intrieur au rectangle ABCD, ira 

 prendre la place de l'un quelconque des points homologues situs dans les 

 autres rectangles lmentaires; en d'autres termes, il suffira que u re- 

 prenne la mme valeur quand on fera crotre ou dcrotre u d'un multiple 

 de a, ou d'un multiple de bi; et cette condition pourra toujours tre rem- 

 plie, quelle que soit la forme de la fonction n pour les points intrieurs 

 au rectangle ABCD. 



