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Ce n'est pas tout; on pourra, aux deux priodes a et Z>i, supposes 

 l'une relle, l'autre imaginaire, substituer deux priodes imaginaires assu- 

 jetties la seide condition que leur rapport ne soit pas rel. Cela pos, 

 concevons que l'on dsigne par a, b non plus deux quantits relles, mais 

 deux expressions imaginaires, dont le rapport ne soit pas rel. Pour que u 

 soit une fonction de z doublement priodique, il suffira que u ne varie pas, 

 quand on fera crotre ou dcrotre z d'un multiple de a ou d'un multiple 

 de b. Alors aussi, a, h pourront tre censs reprsenter en grandeur et en 

 direction les cts d'un paralllogramme lmentaire ABCD, et la fonc- 

 tion u sera entirement connue, quand on la connatra pour chacune des 

 valeurs de z correspondantes aux points situs dans l'intrieur de ce paral- 

 llogramme. 



D'aprs ce qu'on vient de dire, il est clair que, si a et b reprsentent 

 les deux priodes de la variable z dans une fonction doublement prio- 

 dique m, la valeur de u correspondante au cas o le point mobile Z reste 

 compris dans l'intrieur d'un paralllogramme lmentaire ABCD pourra 

 tre choisie arbitrairement. Si d'ailleurs cette valeur, arbitrairement attri- 

 bue u, est toujours finie et continue dans l'intrieur du paralllogramme, 

 on pourra, de formules dj connues, dduire l'expression analytique gn- 

 rale, propre reprsenter la valeur de la fonction u suppose doublement 

 priodique, quelle que soit la valeur attribue la variable z. 



La fonction u, suppose doublement priodique, ne pourra plus tre 

 choisie arbitrairement pour les valeurs de z correspondantes aux divers 

 points d'un paralllogramme lmentaire, si elle est assujettie la condition 

 de rester continue avec sa drive, pour des valeurs quelconques de 2, tant 

 qu'elle ne devient pas infinie. ( Voir la Note sur les fonctions de variables 

 imaginaires, page 160.) Cette condition sera remplie, par exemple, si u est 

 l'une des fonctions elliptiques, ou mme une fonction rationnelle de ces 

 fonctions. Mais il importait de savoir quelle est la forme la plus gnrale 

 que puisse prendre une fonction doublement priodique, quand on l'as- 

 sujettit la condition nonce. Telle est l'importante question que M. Her- 

 mite s'est propos de rsoudre. La solution qu'il en a donne s'appuie sur 

 des propositions remarquables, dduites en grande partie des principes ta- 

 blis par l'un de nous dans divers Mmoires, et spcialement dans le tome II 

 des Exercices de Mathmatiques. Entrons ce sujet dans quelques dtails. 



La variable imaginaire z tant cense reprsenter les coordonnes ima- 

 ginaires d'un point mobile Z, dsignons par F (z) une fonction doublement 

 priodique de z, qui reste continue avec sa drive, tant qu'elle ne devient pas 



