( 449) 

 que renferme le second membre de la formule (u), se trouvera videm- 

 ment diminue du terme correspondant la valeur , de , et augmente 

 du terme correspondant la valeur , -+- b. Cela pos, il est clair que, si l'on 

 assujettit 6 (z) vrifier gnralement la condition 



(i4) e{z+b) = Q(z)- 1, 



la formule (i i) pourra tre tendue au cas o le signe C> serait relatif aux 



valeurs de qui reprsenteraient les coordonnes de points renferms, non 

 plus dans le paralllogramme lmentaire ABCD, mais dans le paralllo- 

 gramme semblable A' B'' C D' avec lequel on peut faire concider le pre- 

 mier en transportant les cts paralllement eux-mmes, et substituant 

 au sommet A le sommet A'. Par suite aussi, on pourra, en supposant le 

 terme A rduit une constante dans la formule (i i), admettre que, dans 



cette formule, le signe o se rapporte aux seules valeurs de qui vrifient 



l'quation (12), et sont de la forme 



(i5) = at + bt', 



t, t' tant des variables relles comprises entre les limites 0,1. 



En vertu de la formule (11), considre sous ce point de vue, toute 

 fonction de z, qui, tant doublement priodique, reste continue avec sa 

 drive, tant qu'elle ne devient pas infinie, se rduit la somme d'un certain 

 nombre de termes, dont chacun est proportionnel une fonction de la forme 



6{z-z t ), 



z, tant une valeur particulire de z, ou bien encore l'une des drives de 

 cette mme fonction diffrentie par rapport z. Tel est le thorme fonda- 

 mental obtenu par M. Hermite. Ajoutons que la fonction dsigne ici par 6 (z) 

 a videmment pour drive une fonction doublement priodique de z. Si 

 l'on dsigne par<p(z) cette drive, la fonction <p (z) restera continue aussi 

 bien que (z) tant qu'elle ne deviendra pas infinie, et, par suite, rien n'em- 

 pchera de prendre pour F (z), dans la formule (1 1), ou la fonction <p (z), 

 ou une fonction rationnelle de <p (z). En rduisant effectivement F (z) au 

 carr de <p (z) , M. Hermite obtient une quation qui sert exprimer ce carr 

 en fonction linaire de <p (z) et de <p" (z); il en conclut aisment que le 

 carr de <p' (z) est proportionnel au produit des trois facteurs 



