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cherche ds proprits des fonctions elliptiques. Il y a plus ; comme je l*ai 

 remarqu en 1 844 (tome XIX des Comptes rendus } page 1378), l'une de 

 ces formules fournit le principe fondamental invoqu par M. Liouville pour 

 les fonctions doublement priodiques, et le gnralise mme, en montrant 

 que toute fonction F(z) de z, qui, offrant une drive unique pour toute 

 valeur de z, varie avec z par degrs insensibles, et ne devient jamais infinie, 

 se rduit ncessairement une constante. Enfin, les formules dont il s'agit, 

 fournissent directement les diverses consquences que notre confrre 

 annonce avoir dduites du principe ici mentionn. 



* Ainsi, en particulier, des formules que j'ai tablies dans le Mmoire 

 lithographie du 27 novembre i83i, comme propres dterminer non- 

 seulement la somme des fonctions semblables de celles des racines d'une 

 quation transcendante, qui peuvent reprsenter les coordonnes imagi- 

 naires de points renferms dans un contour donn, mais encore le nombre 

 de ces racines, on conclut immdiatement que, si, la fonction F (z) tant 

 doublement priodique, on attribue successivement z les diverses valeurs 

 qui expriment les coordonnes imaginaires de points renferms dans le 

 paralllogramme lmentaire dont les cts sont reprsents en grandeur 

 et en direction par les deux priodes, celles de ces valeurs qui rendront 

 la fonction F (z) nulle seront en mme nombre que celles qui la rendront 

 infinie. 



Quant la mthode d'exhaustion qu'a employe M. Liouville, et qui 

 consiste retrancher successivement d'une fonction donne y (z), d'autres 

 fonctions qui deviennent infinies en mme temps qu'elle, pour certains sys- 

 tmes de valeurs attribues la variable z, de manire obtenir, pour reste 

 dfinitif, une fonction zs(z) qui offre une valeur toujours finie ou mme 

 constante, pour des valeurs finies de z; c'est prcisment la mthode dont 

 j'ai fait usage pour tablir, dans le premier volume des Exercices de Ma- 

 thmatiques, les principes fondamentaux du calcul des rsidus. La mthode 

 d'exhaustion est encore celle laquelle j'ai eu recours, dans les Annales de 

 M. Gergonne, pour la dtermination d'un trs-grand nombre d'intgrales 

 dfinies, spcialement des intgrales dont les limites sont oo et + 00 . 



Je joindrai ici la dmonstration trs-simple du thorme relatif aux 

 valeurs d'une variable qui rendent nulle ou infinie une fonction double 

 priode. 



Soit F (z) une fonction, doublement priodique, qui reste continue 

 avec sa drive, tant qu'elle ne devient pas infinie. Soient encore a, b les 

 deux priodes de la variable z; nommons S l'aire du paralllograme l- 



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