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 Soient enfin , pour un point quelconque P du plan , 



toutes les racines de l'quation propose; M. Puiseux, et c'est l une partie 

 essentielle de ses recherches, a donn le moyen de trouver la substitution qui 

 s'opre entre les valeurs initiales u , ,,..., u m _, des racines de la propose, 

 quand la variable z dcrit un contour ferm partant du point P, et em- 

 brassant l'un des points Z , Z,,..., Z^- ,, pour revenir au mme point P. 

 Reprsentons symboliquement par S,- la substitution relative un contour 

 lmentaire comprenant le seul point Z,-, on aura le thorme suivant : 



Thorme i. Toute fonction des racines u, invariable par les sub- 

 stitutions 



pourra tre exprime rationnellement par la variable z ; et aussi la propo- 

 sition rciproque : 



Thorme 2. Toute fonction des racines u, dterminable rationnelle- 

 ment, en z , est invariable par les mmes substitutions 



^o) S ( , . . . , a^ _ ! . 



Le groupe des substitutions en question jouera donc prcisment le 

 mme rle que le groupe de l'quation irrductible en V de Galois. 



Dmonstration du thorme i . Soit U la fonction des racines 

 u , ,,..., u m _ { , qui vrifie les conditions du thorme i; il est vident 

 qu'on pourra toujours tablir entre cette fonction et la variable z une qua- 

 tion rationnelle. En second lieu, si l'on fait dcrire au point P un contour 

 ferm quelconque, la fonction reprendra toujours la mme valeur initiale; 

 donc,, d'aprs une remarque qui appartient encore M. Puiseux, U est une 

 fonction entirement rationnelle de z. 



Dmonstration du thorme i. Toutes les valeurs que pourrait acqurir 

 la fonction U, en appliquant aux racines u , u { ,..., m _ 4 , les substitutions 

 S , S,,..., S^ , , sont autant de valeurs initiales qu'on obtiendrait lorsque 

 le point P, ayant dcrit un contour quelconque, serait revenu sa position 

 primitive; si donc la fonction U remplit les conditions du thorme a, 

 c'est--dire si elle est rationnelle, ces valeurs seront toutes les mmes; 

 donc, etc. 



3. Je vais maintenant faire voir, par un exemple trs-simple, une 

 premire application de ce qui prcde. 



