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de z, il avait montr comment les diverses valeurs de l'intgrale curviligne 



t f u dz 



peuvent se dduire de l'une d'entre elles, ou de celles qu'on en tire 

 quand, une valeur donne de la fonction m, l'on substitue l'une quel- 

 conque des autres valeurs que cette fonction peut acqurir. Ainsi, enfin, 

 il avait dtermin, pour une classe trs-tendue de fonctions algbriques, le 

 nombre des priodes distinctes qui peuvent tre ajoutes l'intgrale curvi- 

 ligne t, sans que la variable z, considre comme fonction de t, change de 

 valeur. 



Dans le nouveau Mmoire dont nous avons rendre compte, M. Pui- 

 seux gnralise encore les rsultats qu'il avait prcdemment obtenus, et, 

 en considrant une fonction algbrique u de forme quelconque, il parvient 

 reconnatre si chaque priode de l'intgrale curviligne 



t = fudz 



appartient toutes les valeurs de l'intgrale, ou seulement une partie 

 d'entre elles. L'analyse l'aide de laquelle il rsout cette question est 

 fonde sur un thorme trs-remarquable, dont M. Puiseux donne une d- 

 monstration rigoureuse et dont voici l'nonc : 



Une Jonction algbrique de z, qui reste toujours continue, tant quelle 

 ne devient pas infinie, est ncessairement une fonction rationnelle. 



Ce thorme, duquel se dduisent des consquences nombreuses et 

 importantes, comme on peut le voir, non-seulement dans le Mmoire 

 soumis notre examen, mais encore dans les belles recherches que M. Her- 

 mite a prsentes, la dernire sance, sur les quations rsolubles par 

 radicaux, permet M. Puiseux de prouver que chacune des constantes, 

 auxquelles on peut donner le nom de priodes, appartient effectivement 

 toutes les valeurs de l'intgrale curviligne t =fudz, lorsque l'quation qui 

 dtermine la fonction algbrique u est irrductible. De plus, en s' appuyant 

 sur le thorme dont il s'agit, et sur les principes exposs dans son pr- 

 cdent Mmoire, M. Puiseux tablit diverses propositions dignes de re- 

 marque, l'aide desquelles on peut reconnatre si une quation entre deux 

 variables est irrductible, ou dterminer le degr des quations irrduc- 

 tibles dans lesquelles elle se partage, et mme trouver chacune de ces der- 

 nires quations. 



En rsum, les Commissaires sont d'avis que les nouvelles recherches 

 de M. Puiseux sur les fonctions algbriques constituent, ainsi que les pr- 



