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dont il s'agit sont forms de deux quations entre plusieurs fonctions des 

 trois variables et de leurs diffrentielles jusqu' celles d'un certain ordre 

 quelconque; ces fonctions sont telles, qu'tant gales des constantes arbi- 

 traires, les quations qui en rsultent se rduisent, aprs la diffrentiation, 

 une ou, au plus, deux quations diffrentielles distinctes. 



Dans le premier cas, celui o les quations dont nous parlons se rdui- 

 sent une seule, le systme des quations proposes n'admet point, pro- 

 prement parler, d'intgrale; il se rduit, en quelque sorte, une quation 

 unique et admet, par suite, une solution qui renferme une fonction arbi- 

 traire. Mais, outre cette solution si gnrale, il en existe une autre laquelle 

 on peut justement donner le nom de solution particulire, et qui renferme 

 un moindre nombre de constantes arbitraires qu'il n'y en a en gnral dans 

 l'intgrale d'un systme de mme ordre que le propos. Cette solution par- 

 ticulire donne presque toujours la vritable solution de la question qui a 

 conduit aux quations diffrentielles proposes. On en a un exemple dans 

 le problme qui a pour objet de trouver une courbe dont les centres des 

 sphres osculatrices soient situs sur une courbe donne. On satisfait effec- 

 tivement la question, en prenant une courbe trace volont sur une 

 sphre de rayon arbitraire, et qui aurait son centre en un point quelconque 

 de la courbe donne ; mais on y satisfait aussi par le moyen d'une courbe 

 non sphrique, et dont les quations renferment deux constantes arbi- 

 traires. 



Le deuxime cas conduit des rsultats diffrents. Les quations pro- 

 poses admettent une intgrale et une solution particulire qui renferme 

 gnralement une constante arbitraire de moins que l'intgrale, et qui 

 donne presque toujours la vraie solution du problme qui a conduit aux 

 quations diffrentielles proposes. On a un exemple de ce deuxime cas 

 dans le problme qui a pour but de trouver une courbe dont les centres de 

 courbure soient sur une courbe donne plane ou double courbure. On 

 satisfait videmment au problme, en prenant un cercle dont le rayon et le 

 plan soient arbitraires, et dont le centre soit en un point quelconque de la 

 courbe donne. Les quations de ce cercle renferment quatre constantes 

 arbitraires, et forment l'intgrale gnrale des quations diffrentielles du 

 problme auquel on satisfait aussi par le moyen d'autres courbes dont les 

 quations peuvent contenir trois constantes arbitraires au plus. 



Lagrange est, je crois, le premier qui ait considr des quations diff- 

 rentielles deux variables formes avec deux ou plusieurs fonctions de ces 

 variables et de leurs diffrentielles qui, gales des constantes arbitraires, 



