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fournissent autant d'intgrales d'une mme quation. Dans une Note que 

 j'ai publie la fin de la troisime dition de la Thorie des fonctions 

 analytiques, j'ai ajout quelques dveloppements l'analyse de Lagrange, 

 et les considrations dont j'ai fait usage ont t le point de dpart des recher- 

 ches nouvelles que j'ai l'honneur de prsenter aujourd'hui l'Acadmie. 



Ce Mmoire est compos de deux parties. La premire partie renferme 

 l'analyse gnrale des quations diffrentielles dont il a t parl plus haut, 

 avec plusieurs applications de la thorie. Dans la seconde partie, j'tudie les 

 dtails que prsente la solution des deux problmes principaux qui m'ont 

 conduit entreprendre les recherches actuelles. On y verra une application 

 remarquable des formules dont j'ai dj fait usage dans plusieurs Mmoires, 

 et, en particulier, dans celui que j'ai publi au tome XVI du Journal de 

 Mathmatiques pures et appliques. 



analyse mathmatique. Sur l' extension du thorme de M. Sturm un 

 systme, d'quations simultanes ; par M. Hermite. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Cauchy, Liouville, Sturm.) 



Le thorme de M. Sturm a pour objet de dterminer le nombre des 

 racines relles d'une quation une inconnue, qui sont comprises entre 

 deux limites donnes. Je me suis propos, dans le Mmoire que j'ai l'hon- 

 neur de soumettre l'Acadmie, une question analogue pour deux qua- 

 tions simultanes, et qu'on peut noncer ainsi : Considrant l'une des 

 inconnues comme l'abscisse, et l'autre comme l'ordonne d'un point rap- 

 port deux axes rectangulaires, dterminer le nombre des points auxquels 

 correspondent des solutions des quations proposes, et qui sont compris 

 dans l'intrieur d'un rectangle donn. Cette question se trouve rsolue de 

 la manire suivante. Dsignons les sommets du rectangle par. les lettres a, 

 h, c, d, et supposons les cts ab et ad respectivement parallles aux direc- 

 tions positives des axes des abscisses et des ordonnes. On substituera suc- 

 cessivement les valeurs numriques des coordonnes de ces quatre points 

 la place des lettres x et y, dans une certaine suite de fonctions de ces 

 deux variables; et en dsignant par A, B, C, D les nombres de variations 

 que prsente cette suite, lorsqu'on prend pour les variables les coordon- 

 nes des points a, b, c, d, on aura, pour le nombre cherch, la valeur 



A-B+C-D 

 n = 



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Ce rsultat est, comme on voit, entirement analogue celui du thorme 



