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heureusement, de la manire la plus directe, la difficult indique, en 

 compltant par un reste la srie de Stirling borne un nombre fini de 

 termes, et mieux encore, en prouvant que Y erreur commise en s' arrtant 

 un terme quelconque de cette srie est plus petite que le terme suivant et 

 en a le signe. 



Ce dernier thorme, dont Legendre avait acquis pour ainsi dire le 

 sentiment par ses calculs numriques, est aujourd'hui bien dmontr. Je 

 nommerai d'abord M. Raabe (tomes XXV et XXVII du Journal de 

 M. Crelle). Il est tabli d'une manire trs-simple et trs-lgante dans un 

 Mmoire de M. Malmsteen, que je me plais citer comme remarquable 

 plus d'un titre (Journal de M. Crelle, tome XXXV). M. Cauchy l'a dmontr 

 (Comptes rendus, tome XVII) en s'appuyant sur la formule 



.i P) = f(^~\-l) 



u.{ I i P~ pt 



une de celles au moyen desquelles on exprime la quantit p.(p) qu'il faut 



ajouter ( p ] log/> p +- - log (a 7;) pour avoir log r (p) , et que 



M. Binet a runies dans son Mmoire. Je ferai mon tour remarquer ici 

 qu'on le dduit avec une merveilleuse facilit de la formule suivante : 



^ )=2 X j^? ; arctan ^ 



5 

 P 



que M. Binet a donne aussi, et laquelle on arrive aisment par diff- 

 rents moyens. 



Aprs avoir crit cette formule (Journal de l'Ecole Polytechnique, 

 xxvii e cahier, page 241), M. Binet ajoute ce qui suit : 



D'autres formes se seraient offertes d'elles-mmes, si l'on avait rem- 



plac d'abord t par pt ; mais nous ne nous en occuperons pas en ce 



moment, o nous voulons faire remarquer que si l'on dveloppait selon 



t t t* 

 les puissances de t la fonction arc tang- = ^ -+- ..., et si l'on pro- 



cdait ensuite aux intgrations dfinies, on verrait se prsenter les 

 nombres de Bernoulli, comme coefficients des puissances rciproques 

 impaires de p : ils tiendraient lieu des intgrales dfinies d'aprs fexpres- 

 sion (68). La formule divergente qui en rsulterait serait prcisment 

 celle que Stirling a forme pour la sommation des logarithmes des nom- 

 bres naturels. Mais, pour arriver ce rsultat, on aurait fait concourir 



