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 une intgration la suite arc tang- que nous venons d'crire; cette in- 

 tgration tant excute, i de t = o t = p, fournira une partie exacte, 

 car alors la suite g - H- ... n'est pas encore divergente; a l'int- 



gration depuis t = p t = oo , emploiera la mme suite qui, devenue 

 divergente, et inexacte entre ces limites, fait natre une autre suite diver- 

 gente comme elle. 



Ces remarques sont justes. Mais prsent nous ajoutons que, quelle 

 que soit la valeur de t entre p et oo , comme entre o et p, la srie dans 



laquelle on dveloppe arc tang - est toujours telle, que l'erreur commise, en 



s'arrtant un terme, est de signe contraire au signe de ce terme, et alter- 

 nativement positive ou ngative, par suite toujours moindre que le terme 

 suivant. C'est ce que l'on voit par la formule 



| 9 T; I - 



= 1 X 2 + X* . . . x- 



I -+- x' 



qui, intgre, donne 



X 3 



arc tang x = x = + ~ 

 o l'erreur 



est toujours du signe du terme 



qui suit celui auquel on s'arrte, et est visiblement plus petite que ce terme, 

 auquel l'intgrale se rduirait si l'on tait le dnominateur i-h x 2 . Comme 

 le facteur qui, dans la formule 



^^Jo ^ZT arctan ^' 



multiplie arc tang- sous le signe / > est essentiellement positif, il est bien 



clair que la proprit signale pour le dveloppement de arc tang - appar- 

 tiendra aussi au dveloppement de p(p) et la srie de Stirling. 



L'analyse prcdente donne, en outre, pour la valeur exacte du reste 



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