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de M. Sturm; cette analogie se maintient encore lorsque l'on considre 

 trois quations simultanes au lieu de deux. Dsignant alors les incon- 

 nues par x, y, z, on les regardera comme les coordonnes d'un point de 

 l'espace rapport trois axes rectangulaires, de sorte qu' chaque solution 

 des quations proposes rponde un point dtermin. Cela pos, consid- 

 rons un paralllipipde droit, dont les bases parallles au plan des xy 

 soient les rectangles abcd, a'b'c'd'. Nous supposerons les cts ab, ad 

 parallles aux directions positives des x et des y, et les droites aa', bb', 

 ce', dd' parallles la direction positive de l'axe des z. Cela tant, le 

 nombre des points reprsentant des solutions et compris dans l'intrieur 

 de ce paralllipipde, sera dtermin de la manire suivante. Dsignons res- 

 pectivement par A, B, C, D, A', B', C, D', les nombres des variations que 

 prsente une certaine suite de fonctions de trois variables, lorsqu'on sub- 

 stitue ces variables les valeurs numriques des coordonnes des points a, 

 b, c, d, a', b', c', d', le nombre cherch sera donn par la formule 



n = \ [(A A') - (B - B') '* (C;,- C) - (D - D')]- 



Il est remarquable qu'il existe un grand nombre de suites jouissant ainsi 

 de proprits semblables celles des fonctions de M. Sturm, dans la thorie 

 des quations simultanes. Voici la plus simple pour le cas de deux qua- 

 tions prises, si l'on veut, sous la forme : 



F(x) = o, 



F (x) tant un polynme entier, et $ (x) une fonction rationnelle de x. 



Nommons x t , x 2 , . . . , x m les racines de l'quation Fx=o, jr t , 

 fiti-'-i fm l es valeurs correspondantes de y, S, la somme symtrique 

 x l % 4- xi + -+ xl, et T t la suivante : y, x; + ;^i+... + y m x,' ; le 

 premier terme de la suite sera l'unit, et les autres les dterminants des 

 systmes linaires : 



T. S, y T,-S,r 



T -S. r T.-S.j T,-S !r 

 T, Si/ T 2 S,y T 3 S 3 y 



T -S.y T, S,j T 2 S>y T 3 -S 3 j 

 T, S,/ T a S,y T 3 -S 3 .r T 4 S,/ 

 T 2 -S 2 r T 3 -S 3 y T, S, 7 T 5 -S,r 



etc. 



le dernier terme est le dterminant m + i colonnes obtenu en conti- 

 nuant la mme loi. En gnral, c'est au moyen de fonctions symtriques 



G. R., 1852, 2 ra Srmestre . (T. XXXV, N 2.) 8 



