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de celte srie une expression en intgrale double d'un usage trs-commode. 



Ces quelques lignes me semblent complter naturellement le beau 

 Mmoire de notre savant confrre, o l'on trouvera ainsi la double solution 

 qu'on pouvait demander : la substitution d'une formule convergente la 

 srie divergente de Stirling , et la discussion directe de cette srie prise en 

 elle-mme. 



J'ai obtenu, au surplus, l'aide de procds qu'il serait trop long 

 d'exposer ici, diverses formules nouvelles d'o l'on pourrait conclure 

 galement les proprits de la fonction jx(/>). 



Cette fonction, ou plutt la fonction T (p), a t le sujet principal de 

 mes leons au collge de France dans le dernier semestre de l'anne cou- 

 rante. J'ai prsent en particulier mes auditeurs l'analyse du Mmoire de 

 M. Malmsteen, dont il a t question plus haut, et dont je crois avoir sim- 

 plifi quelques dtails. J'ai pris pour point de dpart la dfinition des fonc- 

 tions T (p) donne par M. Gauss, savoir, que T(p) est la limite vers laquelle 

 tend, pour m grandissant l'infini, la formule 



, . 12.3.. .m ,m?~ s 



T (p, m) 



p(p + i)...(p+mi) 



Cette dfinition, qui permet la variable p d'tre indiffremment 

 positive ou ngative, relle ou imaginaire, conduit de la manire la plus 

 simple aux proprits fondamentales des fonctions T, c'est--dire aux 

 quations connues 



r(p + i) = pr( P ), r( P )r(i-p)= " 



et 



smpv 



r(/>)T l p + L\...T(p + m - T l = (air) 3 T[np) 



n I 



dont la seconde crite ainsi, . 



T{p)Y{-p) 



psmpn 



montre comment le cas o la variable p est ngative ou partie relle n- 

 gative se ramne celui o p est positive ou partie relle positive. Ceci 

 est souvent utile, car la formule de Stirling mme, complte par' un reste, 

 et cette formule curieuse de Gudermann, 



f ; -(/ , ) = 2[(/ 5 + '" + ^) , g( i + 



