(l-lfci ) 



o m = o, i, 2,..., et beaucoup d'autres formules encore s'tendent ais- 

 ment au cas de p imaginaire partie relle positive, mais non pas partie 

 relle ngative. 



J'ai cit en passant la formule de Gudermann, dont j'ai donn dans 

 mes leons deux dmonstrations diffrentes, pour avoir une occasion 

 d'avertir qu'il n'y a rien de fond dans la crainte que Gudermann exprime 

 (vaguement, il est vrai), que sa formule ne soit en contradiction avec celle 

 de Stirling. Loin de l, on tire assez facilement de la formule de Guder- 

 mann la srie de Stirling et une expression du reste qui la complte. 



L'exponentielle m p ~\ qui entre dans l'expression de Y {p, m), montre 

 quelles sont les combinaisons des fonctions T (p) dont on doit esprer les 

 plus belles proprits. Ce sont celles o l'exponentielle disparat. Telle est 

 la combinaison si connue 



r (/> + ?)' 



telle est aussi la combinaison 



quand on y suppose 



r (ap + b)...T{a i p+b i ) 



T( a 'p + b')...r( a ' t +wry 



t 



et en particulier la combinaison 



r(p)T( ap )...r(<z>->p), 



o a est une racine imaginaire de l'unit, en sorte que a.' = i, et dont 

 l'tude prsente beaucoup d'intrt. Quand on prend pour a une racine 

 cubique de i , on a 



et le produit tp [p) plac au second membre, analogue celui dont dpen- 

 dent les sinus ou les diffrences d'exponentielles, mais d'un ordre sup- 

 rieur, puisque les diviseurs sont des cubes et non plus des carrs, s'obtient 

 de suite, en quantits trigonomtriques et exponentielles, par son expres- 

 sion en T, quand pest un entier positif: quand p est entier ngatif, un des 

 facteurs du produit s'vanouit ; mais ce facteur supprim, le produit des 

 facteurs restants se calcule aussi sans peine. 



Il y a d'autres produits semblables qui se rattachent celui-l, et qui 



