( i53 ) 



I. Il est ncessaire de rappeler d'abord que le but de la Note impri- 

 me dans les Nouvelles Annales de Mathmatiques tait de prouver, par 

 divers exemples , la proposition nonce devant l'Acadmie , que dans la ques- 

 tion dont il s'agit il existe des solutions varies, suivant les conditions de 

 " minimum auxquelles on veut satisfaire. [Comptes rendus, tome XXXI, 

 page 27.) On ne s'tonnera plus, comme l'auteur de la brochure , de ce que 

 j'ai rapport diverses valeurs de l'angle au sommet du triangle , correspon- 

 dant autant de conditions diffrentes remplir, et l'on ne se demandera 

 pas lequel de ces rsultats est exact? 1 (Page 12 de la brochure.) 



Le but de ma premire Note tant bien prcis, on concevra facilement 

 que, quoique Bouguer d'abord, puis Cagnoli et d'autres, aient toujours rap- 

 port les variations des cts des triangles leurs longueurs, comme il tait 

 rationnel de le faire, on ait d, lorsqu'on a attaqu la question, en suivant 

 une voie diffrente, ne pas s'en tenir d'une manire absolue au mme terme 

 de comparaison. Aussi, ds qu'on s'est proccup du dplacement du sommet, 

 on a d rechercher s'il n'y avait pas lieu de considrer ce dplacement par 

 rapport la hauteur du triangle, puisque ses variations.de longueur ne sont 

 pas plus particulires un -ct qu' un autre, et qu'elles ne rsultent, en 

 gnral, que des variations simultanes de plusieurs cts. Il fut vident, en 

 examinant les triangulations les mieux faites, que la hauteur des triangles 

 tait souvent , trs-peu prs, dans le mme rapport avec la portion de l'arc 

 que ces triangles servent mesurer; tandis qu'il n'existait pas de rapport 

 constant entre cette portion d'arc et la longueur des cts de mme catgorie, 

 et que, ce serait tantt aux plus grands, tantt aux plus petits qu'il faudrait 

 rapporter l'erreur de dplacement , quand on admet ce terme de comparaison. 

 Sans entrer ici dans une discussion tendue sur cette question, qui ne serait: 

 pas sans intrt, mais qui, trop spciale , nous mnerait trop loin, il suffit 

 ici, pour justifier les nombreuses solutions que la considration de la hau- 

 teur des triangles introduit dans la question qui nous occupe, de montrer des 

 eas o il est indispensable d'en tenir compte, si l'on veut obtenir de l'exac- 

 titude dans les rsultats. Pour cela , supposons que l'on cherche les positions 

 et la distance de deux points lis par deux triangles ayant mme base si- 

 tue entre eux, opration capitale dans l'tablissement de beaucoup de trian- 

 gulations : on se trouve alors avoir dterminer l'une des diagonales d'un 

 quadrilatre, connaissant l'autre: aucun des cts des triangles n'est dans un 

 rapport constant avec la position ou la distance des deux points; tandis que la 

 distance de chacun d'eux la base n'est autre que la hauteur du triangle dont 



