( io ) 



MMOIRES PRSENTS. . 



analyse mathmatique. Mmoire sur le nombre de valeurs que peut 

 prendre une fonction quand on y permute les lettres quelle renferme ; par 

 M, J.-A. Serret. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Liouville, Lam.) 



Les gomtres qui se sont occups de la thorie des quations alg- 

 briques ont t conduits naturellement tudier diverses questions rela- 

 tives au nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y 

 permute les lettres qu'elle renferme. 



Lagrange est le premier qui soit entr dans cette voie,. en dmontrant 

 que le nombre des valeurs d'une fonction de n lettres est toujours un diviseur 

 du produit i . i . 3 . . . n. 



Plus tard,Rufini considra particulirement, dans sa Thorie des qua- 

 tions, les fonctions de cinq lettres, et dmontra qu'une fonction de cinq 

 lettres, qui a moins de cinq valeurs, ne peut en avoir plus de deux. 



Ce thorme important fut tendu ensuite aux fonctions d'un nombre 

 quelconque de lettres, par Pitro Abatti, compatriote de Rufini, qui dmon- 

 tra qu'une fonction d'un nombre quelconque de lettres ne peut avoir plus de 

 deux valeurs sans en avoir au moins cinq. 



Tel tait l'tat de la question, lorsque M. Cauchy commena s'en 

 occuper. Ce gomtre, prenant pour point de dpart les travaux de Rufini 

 et d'Abatti, publia, dans le tome X du Journal de l'cole Polytechnique, 

 un Mmoire trs-remarquable, o se trouve dmontr ce beau thorme 

 qui comprend ceux de Rufini et d'Abatti : 



Une fonction de n lettres qui a plus de deux valeurs, era a au moins un 

 nombre gal au plus grand nombre premier contenu dans n. 



On conclut de l-, si n est un nombre premier, quune fonction de 

 n lettres qui a plus de deux valeurs en a au moins n. 



M. Cauchy donne penser qu'il chercha tudier ce dernier thorme, 

 au cas des fonctions d'un nombre quelconque de lettres, mais il ne put y 

 parvenir que pour les fonctions de six lettres. Il a, en effet, dmontr, dans 

 son Mmoire , que , si une fonction de six lettres a plus de deux valeurs, 

 elle en a au moins six. 



Enfin, M. Bertrand prsenta, il y a trois ans, l'Acadmie un Mmoire 

 qui fait aujourd'hui partie du XXX e cahier du Journal de l'Ecole Polj- 



