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Je prouve encore que si F(z) tant, avec sa drive F'(z), fonction 

 continue de z et de divers paramtres $, t-,..., on fait varier ces paramtres 

 par degrs insensibles, la valeur de z dtermine par l'quation 



F (z) = o 



restera gnralement fonction continue de s, t,... jusqu'au moment o 

 Ion aura 



F' (s) = o. 



De ces diverses propositions, on peut aisment dduire les rgles de 

 la convergence et les modules des sries qui reprsentent les dveloppe- 

 ments des fonctions implicites d'une seule variable ordonns suivant les 

 puissances ascendantes de cette variable. On en conclut, par exemple, que 

 si sr(z) dsigne une fonction toujours continue de z, une racine 



u = s -t- s , 

 de l'quation 



(4) ttsUi) = s, 

 ou 



(5) z tzs (s -+ z) = o, 



pourra tre dveloppe par la formule de Lagrange eu une srie conver- 

 gente ordonne suivant les puissauces ascendantes de t, jusqu'au moment 

 o le module 9 de t acquerra une valeur qui permettra de vrifier simul- 

 tanment l'quation (5) et la suivante 



(6) i tzs'(s -h z) = o; 



et que, jusqu' ce moment, toute fonction continue de z sera elle-mme 

 dveloppable en une srie convergente ordonne suivant les puissances 

 ascendantes de t. On en conclut aussi que les sries, propres reprsenter 

 les dveloppements de z et de m suivant les puissances ascendantes de t , 



A 



auront prcisment pour module le rapport -' 



Ce n'est pas tout: si l'on nomme u celle des racines de l'quation (4), 

 qui se rduit s pour t = o, et f (z) une fonction continue de z, on aura, 

 en vertu de la formule de Lagrange, 



(7) f( y )=f(^+sVr, 



