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Gnralement, tant donn un systme d'quations diffrentielles du 

 premier ordre avec les valeurs initiales des inconnues, ou pourra obtenir 

 pour ces quations des intgrales continues ou discontinues. Mais, comme 

 on l'a prcdemment expliqu, les intgrales continues seront les seules 

 qu'il conviendra d'employer, quand il s'agira de rsoudre un problme de 

 mcanique ou de physique. 



H. Intgrales continues et discontinues des quations aux drives partielles. 



Considrons d'abord l'quation aux drives partielles 

 (i) U t s = QD x s, 



tant une quantit positive, et supposons l'inconnue s assujettie vrifier,, 

 pour une valeur nulle du temps t, la condition initiale 



(2) s = <p(x). 



Si <p (x) est une fonction continue de la variable indpendante x, l'qua- 

 tion (1), jointe l'quation (a), admettra une seule intgrale continue, 

 savoir, 



(3) s = <p [x + Qt), 



et une infinit d'intgrales discontinues. Si, au contraire, la fonction <p (x) 

 devient discontinue, si l'on suppose, par exemple , 



(4) ? {x) = \ x i(x), 



f(x) tant une fonction de x toujours continue, et \ x un coefficient limita- 

 teur qui se rduise zro ou l'unit, suivant que la variable x est ngative 

 ou positive, alors non-seulement la condition initiale, rduite la forme 



(5) s = \ x ((x) 



fournira une valeur discontinue de s, mais l'intgrale (3), rduite la forme 



(6) s = l x+i i,f (x-hQ.t), 



deviendra elle-mme discontinue. D'ailleurs on pourra satisfaire la fois 

 l'quation (1) et la condition (5), non-seulement par l'intgrale (6), mais 

 encore par une infinit d'autres intgrales discontinues, par exemple, en 

 prenant 



(7) s=\ x f{x + Qt), 



