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 ou bien encore 



(8) s=\* +u f(x + Qt), 



u dsignant une fonction de x et de t qui s'vanouisse pour t = o. Au reste, 

 parmi ces intgrales toutes discontinues , celle que fournit l'quation (6) jouira 

 seule dune proprit remarquable que nous allons indiquer. 



La valeur discontinue de y (se), que fournit l'quation (4), peut tre 

 considre comme la valeur particulire que reoit une fonction continue 

 de x et d'une variable auxiliaire t, quand on pose { = o, par exemple, 

 comme la valeur particulire qui reoit le produit 



\ x f(x), 

 quand , aprs avoir pos 



<\ '=(' + ^)' 



ou bien encore 



i +e 



on fait vanouir t. Il en rsulte que l'intgrale (6), qui devient discontinue, 

 quand on suppose, dans les formules (9) ou (10), 1 = o,se trouve comprise, 

 comme cas particulier, dans une intgrale continue, mais plus gnrale, qui 

 satisfait la fois l'quation (1) et la condition (5). 



En gnral, lorsque des fonctions inconnues du temps et d'une ou de 

 plusieurs autres variables indpendantes seront dtermines par des qua- 

 tions aux drives partielles jointes un nombre suffisant de conditions 

 initiales, on pourra, si ces conditions ne renferment point de fonctions dis- 

 continues, obtenir un systme unique d'intgrales continues, et une infinit 

 de systmes d'intgrales discontinues. Si, au contraire, les conditions ini- 

 tiales renferment des fonctions discontinues, on u'obtiendra plus que des sys- 

 tmes d'intgrales discontinues; mais, parmi ces systmes, se trouvera du 

 moins un systme unique d'intgrales discontinues comprises , comme cas 

 particulier, dans des intgrales continues, desquelles on les dduira en rdui- 

 sant zro une certaine variable auxiliaire. D'ailleurs le systme unique 

 dout il s'agit sera prcisment celui qui devra tre employ, lorsque les qua- 

 tions ou les conditions donnes se rapporteront un problme de mcanique 

 ou de physique. 



Les principes exposs dans ce Mmoire font disparatre les contradic- 



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