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Z infrieur celui de a, on pourrait faire abstraction de ces mmes termes, 

 sauf constater ensuite que le module de Z, quand on a gard aux termes 

 omis, reste infrieur au module de a. 



Lorsqu'en s'appuyant sur le thorme i ou a , on aura fait dcrotre le 

 module R de Z, en faisant passer la variable z de zro une valeur r CT dis- 

 tincte de zro, il suffira, pour oprer une nouvelle diminution du module 

 /?, d'attribuer la valeur r a de z un accroissement que nous dsignerons 

 par , et d'appliquer le thorme i ou 2 Z considr comme fonction 

 non plus de la variable z, mais de la variable . 



En' oprant comme on vient de \e dire, on podrra faire dcrotre 

 sans cesse, et mme rapprocher indfiniment de zro le module R de la 

 fonction Z. Les valeurs successives de z, qui correspondront aux valeurs 

 dcroissantes de Z?, formeront une srie dont le terme gnral aura pour 

 limite une racine de l'quation (2). Si l'on nomme la diffrence entre la 



yr, 



variable z et cette racine, le rapport - sera une fonction entire de , par 



consquent de z, du degr n 1 ; et en faisant dcrotre, l'aide du tho- 

 rme 1 ou 2 , le module de cette nouvelle fonction, on fera Converger z vers 

 une nouvelle racine de l'quation (*>). En continuant de la sorte, non-seule- 

 ment on conclura des thormes noncs que l'quation (2) admet toujours n 

 racines gales ou ingales, mais encore on obtiendra de ces racines des va- 

 leurs aussi approches qu'on le voudra. Ainsi les thormes 1 et 2 fournis- 

 sent, pour la rsolution d'une quation algbrique de degr quelconque, une 

 mthode nouvelle et trs-gnrale qui parat digne d'tre remarque. 



Si l'quation donne se rduisait l'quation binme (1) ou (8), la 



racine unique ou les racines de l'quation se rduiraient au rapport y, ou 



aux racines n lmes de ce rapport. 



Dans tout autre cas, lorsque l'approximation rsultante de l'application 

 de la mthode la dtermination d'une racine sera devenue trs-consid- 

 rable, le module dsign par p , dans le thorme i er , sera gnralement 

 trs-petit; et la mthode nouvelle se confondra simplement avec la mthode 

 linaire ou newtonienne fonde sur l'emploi de la seule quation (3), si l'- 

 quation (2) n'offre pas plusieurs racines gales celle vers laquelle convergent 

 les valeurs successives de z. 



Lorsqu'on veut se borner dmontrer l'existence des racines des qua- 

 tions algbriques, on peut se contenter d'observer que le module de Z 

 dcrot quand ou pose z = r a , en attribuant r une valeur infiniment 



