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 suppose que les valeurs gnrales des inconnues puissent tre des fonctions 

 discontinues du temps. Entrons ce sujet dans quelques dtails. 



Concevons, pour fixer les ides, qu'il s'agisse d'intgrer la plus simple 

 de toutes les quations diffrentielles, savoir, celle qu'on obtient en galant 

 zro la drive d'une inconnue dont la valeur initiale est donne. Cette 

 quation offrira une seule intgrale continue, qu'on obtiendra en galant la 

 valeur gnrale de l'inconnue sa valeur initiale. Mais, si l'on suppose que 

 1 intgrale puisse devenir discontinue, la valeur gnrale de l'inconnue 

 pourra tre une fonction du temps q'ni varie par sauts brusques diverses 

 poques, en se rduisant une constante entre deux poques conscutives. 

 Donc l'quation diffrentielle dont il s'agit offrira non-seulement uue intgrale 

 continue, mais encore une infinit d'intgrales discontinues. 



Concevons maintenant qu'il s'agisse d'intgrer l'quation diffrentielle 

 qu'on obtient quand on gale la drive de l'inconnue une fonction donne 

 du temps. Si le temps varie entre des limites telles que cette fonction ne 

 puisse acqurir des valeurs infinies ou indtermines, l'quation propose 

 offrira , comme dans le cas prcdent , une seule intgrale continue et une 

 infinit d'intgrales discontinues, dont l'une quelconque sera la somme qu on 

 obtiendra en ajoutant l'intgrale continue l'une des fonctions discontinues 

 dont la drive s'vanouit. Mais, si la fonction donne devient, une cer- 

 taine poque, ou infinie ou indtermine, l'intgrale finie elle-mme pourra 

 se transformer alors en une intgrale discontinue. 



Ces diverses conclusions sont prcisment celles auxquelles je suis 

 parvenu dans les leons que j'ai donnes, l'cole Polytechique, sur le 

 calcul infinitsimal (voirie rsum de ces leons, publi en r8?3, page io3). 



Gnralement, tant donn un systme d'quations diffrentielles du 

 premier ordre entre le temps t pris pour variable indpendante, et diverses 

 inconnues, si les drives de ces inconnues sont , en vertu de ces quations 

 diffrentielles, reprsentes par des fonctions qui demeurent continues par 

 rapport aux diverses variables, du moins entre certaines limites, on obtien- 

 drait! moins jusqu' une certaine poque dtermine par les limites dont 

 il s'agit, un systme unique d'intgrales continues, avec une infinit d'int- 

 yrales discontinues; mais, lorsqu'on dpassera cette poque, le systme des 

 intgrales continues pourra se transformer en un systme d'intgrales 

 discontinues. 



Les observations que nous venons de faire sont videmment applica- 

 bles, non-seulement un systme d'quations diffrentielles, mais encore 

 un systme d'quations aux drives partielles qui renfermeraient, avec le 

 temps et une ou plusieurs autres variables indpendantes, des inconnues 



