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Kritik iibcr Dr. P. Kramer. 



Das vom Verf. gewonnene Ergebniss hatte unter den von ihm gemachten 

 Voraussetzungen wohl auf einfacherem Wege gefunden werden konnen. Da 

 Verf. in diesem Abschnitte den Abnahmecoefficienten als constant annimmt, da 

 nach seinen Voraussetzungen weder die absolute Zahl, noch die Verhaltnisszahl 

 der Mannchen und Weibchen, ebensowenig die Fruchtbarkeit der Paare und die 

 Sterblichkeit der Jungen in irgend welcher Beziehung stehen zu dem Zahlen- 

 verhaltniss der mehr oder minder oft abgeanderten Mannchen, so hangt dieses 

 einzig und allein ab von dem als constant angenommenen Variabilitatscoefficienten. 



Mogen die mannlichen Nachkommen jedes Paares sich in zwei Gruppen 

 spalten, von denen die eine unverandert, dem Vater gleich, die andere weiter 

 verandert ist, und mogen diese in dem Verhilltnisse i : v stehen. Fur drei auf- 

 einanderfolgende Generationen ergiebt sich dann: 



i + Y 



I -j~ V I -(- V 



i -j~ v ! ~}~ v J H- v i-f-v 



In der dritten Generation hat man also eine Gruppe unveranderter, drei 

 Gruppen einmal, drei Gruppen zweimal und eine Gruppe dreimal abgeanderter 

 Mannchen; die Zahlen der Mannchen je einer dieser viererlei Gruppen stehen 

 im Verhaltniss von i : v : v 2 : v 3 . Also verhalten sich die unveranderten zu den 

 einmal, zweimal, dreimal veranderten Mannchen, wie i : 3v : 3V 2 : v 3 . Man sieht 

 sofort, wie das in den folgenden Generationen weitergeht. Fur die x te Generation 

 werden die Verhaltnisszahlen der keinmal, einmal, zweimal, . . . bis xmal abge- 

 anderten Mannchen dargestellt durch die (x -f- i) Glieder der Potenz (i -f~ v ) x - Fur 

 die Mannchen, welche ymal abgeandert haben, hat man also x y -v y , wo x y der )' te 

 Binominalcoefficient von x. 



Setzt man x - - 10, v = */, un d multiplicirt mit 2 10 , so erhalt man die vom 

 Verf. auf Seite 22 gegebenen Zahlen. 



Zur Erlangung dieses der einfachsten Ueberlegung sich muhelos bietenden 

 Ergebnisses hat der Verf. 15 Seiten und eine weitschichtige Rechnung mit zehn 

 Buchstaben gebraucht. Ein einziger thut's auch, wie man sieht. 



Verf. kniipft hieran u. a. folgende Bemerkung: ,,Einzig und allein in dem 

 einzigen, aber undenkbaren Falle, dass n der Einheit gleich ist" (d. h. dass alle 

 Mannchen variiren), ,,finden sich kunftighin nur veranderte Formen, in alien 

 iibrigen Fallen bleibt in einer guten Anzahl Nachkommen die alte 

 Form erhalt en." Verf. scheint vergessen zu haben, dass es zwischen 2 und i 

 auch noch Zahlen giebt wenn auch keine ganzen ; fur alle diese zwischen i und 

 2 liegenden Werthe von n aber tritt, unter den Voraussetzungen des Verf., die 

 Zahl der unveranderten Mannchen zuriick gegen die der am meistcn veranderten. 

 Fur n = : 1,5, (v = = 2 nach der oben gebrauchten Bezeichnung), wiirden die vom 

 Verf. gegebenen Zahlen in gerade umgekehrtem Sinne gelten : unter 3 10 = 59049 

 Mannchen wiirden sich ein unverandertes, 20 einmal veranderte u. s. w., dagegen 

 5120 neunmal und 1024 zehnmal veranderte finden. Ware 59049 die Zahl der 

 Mannchen in einem bestimmten Gebiete, und waren die Mannchen hundertmal 

 /ahlreicher als die Weibchen, so wiirde die Wahrscheinlichkcnt. dass jenes eine 

 unverandertc Mannchen eine Genossin filnde, nur 1 j i00 , die Wahrscheinlichkeit, 



