GAUSS ging dabei von voruherein von einer ganz bestimmten Art, 

 die Abbildung zu verwirklichen, aus: als gegeben sah er an eine 

 Kugelflache und Lichtstrahlen, die darauf fallen - - d. h. ein ganz be- 

 stimmtes Mittel, die Abbildung zu verwirklichen ; ferner die Tatsache 

 der Brechung des Lichtes - - ein weiteres Mittel clazu; ferner ein 

 durch die Erfahrung gefundenes Brechun gsgesetz, dem 

 die Strahlen gehorchen; ferner die Forderung, daB der leuchtende 

 Punkt in der Achse der Kugelflache liegt kurz lauter Dinge, 

 die mit der Erfahrung rechnen und die schon von vornherein 

 darauf Bedacht nehmen, wie die Abbildung verwirk lie lit werden 

 soil. Von der ein en brechenden Flache ging GAUSS iiber zur Be- 

 handlung der Aufgabe fiir zwei brechende Flachen, eine Linse; von 

 da zu System en von Linsen ; von Punkten, die in der Axe liegen, 

 zu solchen, die ihr unendlich nahe liegen. Mit anderen Worten: 

 GAUSS geht von einer gauz bestimmten Art und Weise aus, durch 

 die die Abbildung verwirklicht werden soil, und von ganz bestimmten 

 Bed in gun gen, unter denen das geschehen soil; er verallgemeinert 

 dann diese Bedingungen immer mehr und kommt so von der Ab- 

 bildung in einem besonderen Falle zu einer allgemeinen Theorie der 

 Abbildung. Diese Methode, die Philosophie nennt sie Induktion, geht 

 vom Speziellen zum Allgemeinen. - - Ein auf diesem Wege gefundenes 

 Gesetz ist aber niemals vollkommen kennen zu lernen: man weiB nie, 

 wo die Grenzen fiir die Verallgemeinerung, also auch fiir das durch 

 Induktion gefundene Gesetz, liegen. Man kann daher auf diesem 

 Wege, die Abbildungslehre zu behaudeln, niemals zu Resultaten von 

 absoluter Allgemeinheit kommen. AuBerdem aber beruhen die so 

 gefundenen verallgemeinerten Resultate immer auf speziellen Voraus- 

 setzungen, gelten also auch nur claim, wenn jene erfiillt sind. Die 

 Beziehungen zwischen Bildpunkt und Objektpunkt, die man so findet, 

 konnen z. B. schon nicht mehr richtig sein, falls - - urn einen extremen 

 Fall zu nehmen - es sich herausstellen wiirde, daB jenes Brechungs- 

 gesetz nicht richtig ist, oder daB man es nicht mit Kugelflachen zu 

 tun hat. 



Einen ganz neuen Weg, die Abbildungslehre zu behandeln, hat 

 ABBE eingeschlagen. Er laBt zunachst unberiicksichtigt, wie die Ab- 

 bildung verwirklicht werden soil: er spricht zunachst weder von 

 brechenden Flachen noch iiberhaupt von Brechung, geschweige denn 

 von einem bestimmten Brechungsgesetz, sondern nur: von geraden 

 Linien und von dem Begriff ,, Abbildung". Er behandelt die Ab- 

 bildung als eine rein geometrische Aufgabe. Er setzt nur voraus, 

 daB sie durch gerade Linien - auch sie werden ,,Strahlen" ge- 

 nannt punktweise zustande komme, so daB je einem Punkt des 

 Objekts je ein (N.B. nur ein) Punkt des Bildes entspricht und zwar 

 in der Weise, daB einer Strahlengruppe, die durch einen Objektpunkt 

 geht, Strahlen entsprechen, die samtlich durch den zugehorigen Bild- 

 punkt gehen, wie wir das von zwei konjugierten Punkten kennen. 

 Das ist alles, was vorausgesetzt wird. - - Gefordert wird von der Ab- 

 bildung, daB ein gegebener Punkt des Objekts durch einen Punkt 

 des Bildes wiedergegeben wird; Punkte, die im Objekt auf einer 

 geraden Linie liegen, auch im Bilde auf einer geraden Linie, 

 und zwar in derselben Reihenfolge nebeneinander liegen, und Punkte, 

 die im Objekt auf einer Ebene liegen, auch im Bilde auf einer 

 Ebene liegen. Von der Forderung ausgehend, daB einer Ebene im 

 Objekt auch eine Ebene im Bilde entspricht, untersucht ABBE: Welche 

 mathematischen Beziehungen bestehen dann zwischen den Bild- 

 punkten und den Objektpimkten? ABBE findet vier Gleichungen, die 



