28 Zweiter Abschnitt. 



denke sich durch den Wachsklumpen in einer bestimmten Richtung, eine grade 

 Eisenstange gestossen. Dann werde der gesammte Klotz um einen bestimmten 

 "Winkel um die Eisenstange gedreht, und auf der Stange um eine bestimmte 

 Strecke verschoben, und es komme, durch diese zwei Bewegungen, der Körper 

 aus der gegebenen Anfangsstellung in die gegebene Endstellung. 



43. Der Beweis lässt sich auf folgende Weise führen: 



Lehrsatz: Jede Ortsveränderung eines starren räumlichen Systems 

 lässt sich dadurch vermitteln, dass dasselbe gezwungen wird, eine bestimmte 

 Schraubenbewegung um eine gewisse Grade des Raumes als Axe auszu- 

 führen {20). 



Beweis: Aus dem weiter oben angeführten Lehrsatz über die Verschie- 

 bung einer Figur auf der Ebene lässt sich zunächst ein Satz ableiten, der für 

 den vorliegenden Beweis als Voraussetzung dienen soll : Dieser Satz lautet in 

 allgemeiner Form: Jede Ortsveränderung eines Körpers, von dem ein Punkt 

 fest bleibt, lässt sich durch Drehung desselben um eine feste, durch hin- 

 durchgehende Axe ausführen. 



Es beschreiben bei der Bewegung eines Körpers um einen festen Punkt 

 alle Punkte des Körpers Bahnen, die je auf einer Kugelfläche liegen. „Mit 

 Rücksicht darauf pflegt man die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt 

 auch in der Weise zu behandeln, dass man sie durch Bewegung eines sphäri- 

 schen Systems auf seiner eigenen Kugelfläche ersetzt" {20). Der eben ange- 

 führte Satz lässt sich also auch so ausdrücken, dass man sagt: Eine um ihren 

 Mittelpunkt als festen Punkt drehbare Kugel kann aus jeder beliebigen Stellung 

 in jede beliebige andere Stellung gebracht werden durch einfache Drehung um 

 einen ihrer Durchmesser. 



Der Beweis für diesen Satz folgt einfach aus dem Lehrsatze über die 

 Verschiebung einer ebenen Figur (36, 37), wenn man die Ebene als Oberfläche 

 einer unendlich grossen Kugel auffasst. Die eine Lage der Ebenen Figur be- 

 zeichnet dann eine Lage der unendlich grossen Kugel, die zweite Lage ebenso 

 die zweite Lage der unendlich grossen Kugel. 



Nach dem oben angeführten Satze kann nun die Ebene Figur in jede an- 

 dere Lage gebracht werden durch Drehung um einen Punkt der Ebene, den 

 Drehungspunkt. 



Die Drehung der ebenen Figur um den Drehungspunkt entspricht dann 

 einer Drehung der unendlich grossen Kugel um denjenigen Durchmesser, der 

 durch den Mittelpunkt und den Drehungspunkt bestimmt ist. Es besteht 

 also die 



Voraussetzung: Eine Kugel kann aus jeder beliebigen Stellung in jede 

 beliebige andere Stellung gebracht werden durch eine einfache Drehung um 

 Einen ihrer Durchmesser. 



44. Beweis (Fortsetzung): Denkt man sich nun einen Körper in der 

 beliebig gegebenen Anfangslage in eine Kugel K eingeschlossen, und in der zu 

 erreichenden beliebigen Endlage im Räume ebenfalls auf genau dieselbe Weise 

 in eine ebenso grosse Kugel K^ eingeschlossen, so ist es klar, dass die Kugel 

 K auf folgendem Wege in die Lage und Stellung der Kugel K^ gebracht wer- 



