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den kann: Es werde die Kugel K erst auf der Verbindungslinie der beiden 

 Mittelpunkte von K und K^ verschoben, bis die Mittelpunkte zusammenfallen. 

 Dann hat die Kugel K dieselbe Lage im Räume, wie die Kugel Kj und es be- 

 darf nun, nach der Voraussetzung, nur noch einer einfachen Drehung von K 

 um einen gewissen Durchmesser, damit K und K^ nach Lage und Stellung zu- 

 sammenfallen. Ist diese Drehung ausgeführt, so muss auch der in K einge- 

 schlossene Körper Lage und Stellung des auf die gleiche Weise in K^ einge- 

 schlossenen Körpers angenommen haben. Somit wäre die Verschiebung des 

 Körpers aus einer beliebigen Anfangsstellung in eine beliebige Endstellung 

 zurückgeführt auf eine gradlinige Verschiebung in der Richtung der Verbin- 

 dungslinie der Kugelmittelpunkte, und eine Drehung um einen gewissen Durch- 

 messer der Kugel. Diese beiden Bewegungen würden zusammen eine Schrau- 

 benbewegung ausmachen, wenn die Richtung der Verschiebung zur Richtung 

 der Drehungsaxe parallel wäre. Da nun über die Lage des Mittelpunktes der 

 Kugel K relativ zu dem Körper, und mithin über die Lage der Verbindungs- 

 linie der Mittelpunkte der beiden Kugeln K und K^ gar keine Veraussetzungen 

 gemacht worden waren, so kann diese Verbindungslinie jede beliebige Lage 

 im Raum haben, und es muss für jeden gegebenen Fall eine Lage geben, in 

 der sie der Axe der ausser der Verschiebung erforderlichen Drehung parallel 

 ist. Damit ist dann die erforderliche Bewegung auf eine einfache Schrauben- 

 bewegung zurückgeführt. 



45. Construction: Aehnlich wie für die Bewegung in der Ebene der 

 Drehungspunkt für je zwei beliebige Lagen gefunden wurde, kann dies nun 

 auch für die Bewegung im Raum geschehen. 



Aufgabe: Für je zwei beliebige Lagen eines Körpers im Raum die Axe 

 und den Steigungsgrad der Schraubenbewegung zu finden, durch die der 

 Körper aus der einen Lage in die zweite übergeht. 



Lösung: Da die Lage eines Körpers durch die Lage dreier seiner Punkte, 

 die nicht in eine Gerade fallen, bestimmt ist, so kann man sich drei Punkte 

 des Körpers als Eckpunkte eines ebenen Dreiecks vorstellen, und die Lagen 

 des Körpers sind dann durch die Lagen dieses Dreiecks bestimmt. Die Auf- 

 gabe lautet also in vereinfachter Form : Zu zwei Lagen eines Dreiecks im Raum 

 die Axe der Schraubenbewegung zu construiren, durch die eine in die andere 

 übergeht. 



Hierzu müssen gewisse Eigenthümlichkeiten der Schraubenbewegung be- 

 kannt sein. Diese Bewegung bedingt, dass alle Punkte des bewegten Systems, 

 obschon sie wegen ihres verschiedenen Abstandes von der Schraubenaxe ver- 

 schieden lange Bahnen zurücklegen, parallel zur Axe stets um gleiche Strecken 

 vorrücken, deren Grösse von der Steigung der Schraube abhängt. Das heisst: 

 die Projection der Bahnen aller Punkte auf die Schraubenaxe ist gleich. Aus 

 dieser Eigenschaft der Schraubenbewegung ist zunächst die Richtung der ge- 

 suchten Axe auf folgende Weise zu ermitteln {21): Gegeben sind zwei Lagen 

 eines Dreiecks, mithin auch Richtung und Länge der Abstände ihrer Eck- 

 punkte. Denkt man sich nun von einem beliebigen Punkte des Raumes aus 

 4rei Strecken nach Richtung und Länge gleich diesen Abständen abgetragen 



