Knotenpunkte eines zeutrierten Systems. 35 



Q l H l nn& die dieser gleiche Q S H. 2 mit h, R l H l und die dieser gleiche R^H^ mit h lt 

 so ist, wegen der Ahnlichkeit der Dreiecke, 



in A RiH l F l und R l Q l O fa : a = 7^ : (7i t -|- 7t), 



in A QzH^Fz und Q^R^P fa : b - - U : (h-^ -\- li). 



Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich: 



Diese Gleichung ist aber identisch mit Gleichung (6) und da letztere nur 

 durch Uniformung von Gleichung (l) entstanden ist, so ergibt sich also, dafi Glei- 

 chung (l) gilt, falls wir die Abstande in der angegebenen Weise von den Haupt- 

 ebenen rechnen. - Dafi die Werte fa und a im Sinne unserer dioptrischen Kech- 

 nungen negative Grofien sein miissen, andert, wie leicht ersichtlich, nichts an der 

 Giiltigkeit der Formel. 



Entsprechend den beiden Hauptpunkten , resp. Hauptebenen, gibt es 

 auch zwei Knotenpunkte des Systems. Der Abstand des ersten Knotenpunktes 

 vom ersten Hauptpunkte und der diesem gleiche Abstand des zweiten Knoten- 

 punktes voui zweiten Hauptpunkte sind in optischer Hinsicht gleichwertig 

 dem Radius eines einfachsten Systems. Dieser ist zu finden, wenn die Haupt- 

 brennweiten des Systems bekannt sind ; er ist gleich der algebraischen Summe 

 der beiden Hauptbrennweiten. 



Letzteres ergibt sich durch Addition der beiden Gleichungen (5); man erhalt: 



f 4- f 

 fl 



D 



und durch Einsetzen des Wertes - fur D: 



Die beiden Knotenpunkte des Systems sind durch folgende Eigen- 

 schaft charakterisiert : Ein Strahl, der vor der Brechung gegen den ersten 

 Knotenpunkt hin gerichtet ist, geht nach der Brechung seiner friiheren Rich- 

 tung parallel durch den zweiten Knotenpunkt. 



Der Beweis dieses Satzes zerfallt in zwei Teile: 



1. Beweis, dafi der zweite Knotenpunkt als Bildpunkt zum ersten Knoten- 

 punkt als Objektpunkt konjugiert ist, dafi mithin ein auf den ersten Knotenpunkt 

 hin einf allender Strahl nach der Brechung durch den zweiten Knotenpunkt geht : 



Wenn die beiden Knotenpunkte konjugierte Punkte sind, so mufi der Abstand 

 des ersten, resp. zweiten Knotenpunktes vom ersten, resp. zweiten Hauptpunkte in 

 Gleichung (6) fur a und & eingesetzt werden konnen, ohne dafi diese Gleichung 

 ihre Giiltigkeit verliert. Dieser Abstand ist aber gleich fa -\- f z , d. i. die alge- 

 braische Summe der Brennweiten. Man ersieht leicht, daC in Gleichung (6) a und b 

 durch (/j -\- f z ) ersetzt werden konnen, ohne dafi die Gleichung ungiiltig wird. 



2. Beweis, dafi ein gegen den ersten Knotenpunkt hin einfallender Strahl 

 nach der Brechung seiner friiheren Eichtung parallel ist. 



In Fig. 3 trage ich die algebraische Summe (fa -f- fa) der Brennweiten, d. i. 

 in diesem Falle die Differenz (F 8 H y - - F l H^ , die ich mit r bezeichnen will , von 

 den Hauptpunkten in der dem Vorzeichen dieser Sunirne entsprechenden Richtuug, 

 d. i. in diesem Falle nach rechts, ab, so erhalte ich die Knotenpuukte K r und K^. 

 Ferner ziehe ich die Geraden OK l und PK^, dann ist OK r ein vom Objektpunkt 

 ausgehender gegen den ersten Knotenpunkt hin einfallender Strahl, und PK Z ist der 

 zugehorige gebrochene Strahl, weil der gebrochene Strahl sowohl durch den zweiten 

 Knotenpunkt als auch durch den zu gehorigen Bildpunkt P gehen mufi. Es ist 

 also zu beweisen, dafi OA^ parallel zu PA' S ist. 



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