Graphische Zusammensetzung und Zerlegung von Klangkuvven. 



angenomineuen Lange der Klangwelle (Klangperiode) und beschreibt 

 iiber ihr als Abszisse erst vier aufeinanderfolgende Sinuswellen entsprechend 

 dein tieferen Tone und darauf die fiinf Sinuswellen des hoheren. Alsdann 

 wird fur jeden Punkt der Abszisse die algebraische Surnme der in ihm zu- 

 samnienfallenden beiden Tonordinaten aufgesucht und als Lot aufgetragen. 

 Die durch die freien Endpunkte aller dieser Lote gezogene krumnie Linie 

 ist die Klangkurve. Dieselbe wird dernnach durch eine algebraische Addi- 

 tion, durch Superposition der Toukurven gewonnen. 



Bei dieser Konstruktion ist nun vorausgesetzt, daB einerseits die 

 Anfangspunkte der beiden Tonschwinguugen, andererseits der Endpunkt der 

 vierten AVelle des tieferen und der der fiinften des hoheren Tones zusaininen- 

 fallen, dafi also Phasengleicbheit besteht. Dies ist aber ein spezieller Fall 

 uud der allgeuieinere der, daB ein Phasenunterschied, eine Phasen- 

 verschiebung stattfindet, indem der eine Ton uni irgend einen Bruchteil 

 einer Schwingungsdauer friiher oder spiiter einsetzt als der andere. Fig. 04 

 zeigt die Komposition zweier Tone gleicher Amplitude, deren Schwingungs- 

 zahlen sich verhalten wie 1:2, fiir die Gangunterschiede 0, 1 / 4 , J / 2 , :! / 4 der 

 Lange der kiirzeren Welle dargestellt. Fiir die Zusammensetzung ist iinmer 

 das Prinzip der Superposition in gleicher Weise maBgebend. Man sieht aber, 

 daB die resultierende Wellenform sehr von der Phasendifferenz abhangig ist, 

 und wenn man bedenkt, daB auJjerdem die Anzahl der Partialtone eines 

 Klanges und die Wahl der einzelnen Amplituden beliebig ist, so wird ver- 

 standlich, da(j unendlich viele verschiedene Klangkurven moglich sind. 



Der Mathernatiker Fourier 1 ) hat nun gezeigt, daC jede Kurve von der 

 Abszissenlange 7, welche Gestalt sie auch iin ubrigen haben moge, in einer 

 ganz bestimmten und nur in dieser einzigen Weise zerlegbar ist in eine Reihe 

 von Sinuskurven, deren Wellenlangen gleich 7, 1 / 2 7, 1 / 3 7 usw. sind und deren 

 Amplituden und Gangunterschiede sich von Fall zu Fall nach der Methode 

 der unbestimmten Koeffizienten berechnen lassen (wobei eiuzelne dieser GroCen 

 natiirlich auch gleich Null sein konnen). Wie man also jederzeit aus einer ge- 

 gebenen Anzahl einfacher Teiltone auf dem Papier eiue Klangwelle zu bilden ver- 

 mag, so ist man mittels der Fourierschen Analyse, auf deren Einzelheiten bier 

 nicht eingegangen werden soil, auch imstande, aus der gegebenen Klangwelle 

 deren Komponeuten wieder zu ermitteln. 



b) Die physikalische Klangzerlegung. 



Das Theorem von Fourier ist fiir verschiedene physikalische Probleine vou 

 Wichtigkeit, und gerade fiir die Akustik hat es nicht etwa bloI5 die Bedeutuug 

 einer rnathematischen Fiktion, soudern einen sehr wesentlichen reellen Sinn. In 

 einem xuiser Ohr treffenden Klangwellenzuge sind nainlich faktisch alle die- 

 jenigen Teiltone und nur diese als pendelformige Konipouenten enthalten, 

 welche auch die mathematische Analyse ergibt. Man kann sicb hiervon 

 unter Benutzung diverser physikalischer Hilfsmittel iiberzeugeu, bei denen 

 die Erscheinung des Mitschwingens oder der Resonanz zur Wirkung kornrnt. 

 Man hebe etwa die Dainpfung eines Klaviers auf und singe rait kraftiger 

 Stimme auf eine nicht zu hohe Note einen Vokal gegen da? Instrument, so 



l ) Theorie analytique de la chaleur, Paris 182'2. 



