530 Summationstone als Differenztone hoherer Ordnung. 



vielen Obertonen, und nicht in hohen Lagen hervorgebracht wiirden. So 

 G. Appunn, den Preyer 1 ) zitiert. Preyer selbst stimmt ihm zu, ab- 

 gesehen von einem Ausnahmefall, der darin bestand, daC auch Gabeln mit 

 Kautschukringen, welche die harmonischen Obertone abdampfen sollten, bei 

 starkein Tonen Summationstone ergaben; aber diese Ausnahme ist insoferu 

 zweifelhaft, als, wie man jetzt weifi, die Kautschukringe den erwahnten Effekt 

 nur in sehr beschranktem MaJSe haben. Stumpf 2 ) konute ebenfalls die 

 Summationstone, die er am Harmonium, an der Sirene und an Zungenpfeifen. 

 nicht aber bei Flotenpfeifen beobacbtete, von den Obertonen herleiten und 

 sie souiit fiir Differenztone hoherer Ordnung erklaren. 



DaB dies recbnungsmaJSig angangig ist, darauf baben schon Rober 

 (1856), R. Fabri (1860), G. Appunn 3 ) u. a. aufmerksam gemacht niit dem 

 Hinweis, dafi 2 h - - (h- t) = h -(- t sei. Auch R. Koenig 4 ) ist dafur ein- 

 getreten, daB die Summationstone im allgemeinen von Obertonen herriihrten, 

 verfuhr aber ungenau hinsichtlich der Bestimmung der betreffenden Obertone. 

 Da ein jiingerer Autor ibm hierin gefolgt ist, diirfte es niitzlicb sein, an dieser 

 Stelle einige Formeln zur Ableitung der Summationstone mitzuteilen, nainlich: 



(1) . . . h-l r t=h-\-t + ah a 



(2) ... 7i + t = =h-\-t -f at at oder h + t-~ at [(a-- l)t h] 



(3) ... h -{- 1 = li -\- t -)- all all -\- at <itoderh-\-t 



= [ah (a--l) t] [(a --l)h at] 



(4) ... 7i-H = A-H + a/i ah + U U oder h + t 



= [ah lt^ [(a --l)h (b+l) t] 



(5) ah = -bt;h + t = h + t + ah bt oder h -f t = (a + 1) h (b -- 1) / 



(6) ah - - bt; h -f t = h -f- t -f U - - ah oder h + t 



Diese Formeln, die ubrigens zum Teil auf zwischenliegende Differenz- 

 tone fiibren, sind nur anwendbar, sofern die vorkommenden Differenzen positiv 

 sind. AuCerdem miissen a und l> selbstverstandlicb ganze Zablen sein. 



Eine Entscbeidung dariiber, ob wirklicb zvvei Primartone ohne ]\Iit- 

 wirkung von Obertonen einen Summationston hervorzubringen vermogen. 

 wiire etwa in der Weise zu versuchen, dafi man von samtlichen Tonpaaren, 

 welcbe recbnungsmaCig einen Summationston als Differenzton hoherer Ordnung 

 ergeben wiirden, je einen Ton durcb Interferenz beseitigte. Krueger 5 ) be- 

 ricbtet iiber eiuige bierauf beziiglicbe Experimente. Allein dieselben siud 

 alle deswegen unzureicbend, weil dabei immer nur ein einzelner Oberton 

 beriicksicbtigt worden ist. Bis auf weiteres wird man daher mit der ubrigens 

 keineswegs unwahrscheinlicben Moglicbkeit zu recbnen baben, daC es sowohl 

 ecbte wie unechte Summationstone gibt. 



Wenn man eine aus zwei Grundtonen h uud t nebst diversen Obertonen 

 durch einfacbe Superposition zusammengesetzte Klangwelle nacb Fourier 



') Wiedemanns Ann. 38, 131, 1889. - IJ ) r l'onpsycli<>l. 2, 255, 1890. - 3 ) Ant. 

 Appunn hat spater der Auffassuug seines Vaters G. Appunn, daC die Summa- 

 tionstone Differenztoue hoherer Ordnung seien, in einer iibrigens nicht ganz ein- 

 wandfreien Untersuchung (Wiedemanns Ann. 42, 338 bis 343, 1891) direkt wider- 

 sprochen. - - 4 ) Pogg. Ann. 157, 217 ff., 1876. Experiences d'aooustique, Paris 1882, 

 p. 124 ft. - r ') Wundts Phil. Stud. 17, 278 ff., 1901. 



