284 1706. HELMHOLTZ, Entdeckungsgeschichte des Princips der kleinsten Action. 



aber die Lelire von der Wanne und den magnetisch. - elektrischen Wirkungen unter 

 dieselbe Form gebracht worden ist, erweist es sich als ein umfassenderes Gesetz, 

 ills cs die wagbaren Korper sind. 



Das Gesetz der kleinsten Action schliefst sich eng an das von der Energie 

 an und vervollstandigt dasselbe. Das letztgenannte Gesetz giebt namlich nur eine 

 einzige Grofse, das Quantum der Energie, an, die im Verlauf jedes Naturpro cesses 

 constant bleiben mufs. Dariiber, wie iibrigens der Procefs zwischen seinein An- 

 fangs - und Endstadium ablaufen wird, giebt es nichts welter an. Um das zu er- 

 mitteln, inulste man bei den Systemen wagbarer Korper auf die allgemeinen Be- 

 wegungsgleichungen zuriickgehn. Nun ist es gerade dies, was durch das Gesetz 

 von der kleinsten Action bestimmt wird. 



Um den Sinn dieses allgemeinen Princips auseinanderzusetzen , wollen wir 

 uns zunachst beschranken auf die Bewegungen wagbarer Korper. Der Ablauf 

 dicser Bewegungen ist bedingt durch das Beharrungsvermogen der schweren Korper 

 und durch seinen Conflict mit den Bewegungskraften, die die Bewegung zu iindern 

 streben. Man k aim sagen. das Princip der kleinsten Action definire die Wirkungen 

 des Beharrungsvermogens unter den allgemeinsten Bedingungen in diesem Conilicte. 



Beginnen wir mit dem einfachsten Fall. Eine punctformige Masse, auf die 

 keine bewegende Kraft wirkt, sei durch einen ersten Anstofs in Bewegung gesetzt. 

 Wir wissen . dais sie ihre Bewegung in gerader Linie fortsetzt mit gleichformiger 

 Geschwindigkeit. Zwar konnen wir einen solchen Versuch unter irdischen Be- 

 dingungen nicht mit vollkommener Genauigkeit ausfiihren, da wir nie alle wider- 

 stehenden Krafte. Reibung, Luftwiderstand u. s. w., bis auf den letzten Rest ent- 

 i'rrnen konnen. Aber wir konnen uns doch durch den Versuch iiberzeugen. dais 

 je sorgfa'ltiger wir jeden Widerstand entfernen. desto langer der bewegte Korjier 

 in seiner geradlinigen gleichformigen Bewegung beharrt. 



Durch diese Forderting. der bewegte Massenpunct solle den kurzesten Weg 

 /wischen dem gegebenen Anfangs- und Endpunct seiner Balm beschreiben, sind 

 sammtliche iibrigen Puncte der Balm bestimmt. Die y.weite Forclerung, welche bei 

 dieser Bewegung zu erfiillen ist. dais namlich die Geschwindigkeit des Korpers 

 in seiner Bahn constant sei, kann man auch so ausdriicken. dais das Quadrat der 

 Geschwindigkeit multiplicirt mit der Masse, d. h. die lebendige Kraft, einen con- 

 stanten vorgeschriebenen Werth habe. Da in diesem Falle keine aufseren Krafte 

 wirken sollen , so ist die potentielle Energie gleich Null, also hat auch die ge- 

 sammte Energie, die sclion nach dem Gesetz der Erhaltung der Kraft constant 

 bleiben mufs, einen bestimmten vorgeschriebenen Werth, da sie sich aus den bei- 

 den in diesem Falle wiihrend der Bewegung unveranderlichen Summanden, der 

 lebendigen Kraft und der potentiellen Enei'gie, zusammensetzt. 



Man kann die Beschreibung der geradlinigen, gleichformigen Bewegung des 

 vorausgesetzten Massenpunctes also auch in der Form geben: die Bewegung des 

 Punctes geschieht vom vorgeschriebenen Anfangspuncte zum Endpuncte der Bahn 

 in der kurzesten Zeit, in der das bei dem gegebenen Werthe ihrer Energie mog- 

 lich ist. Da bei gegebener Energie, das heifst in diesem Falle Geschwindigkeit 

 der Bewegung, der ktirzeste Weg auch in kiirzerer Zeit als alle andern Wege 

 zuriickgelegt wird, so wird die kiirzeste Dauer der Bewegung auch nur auf dem 

 kurzesten Wege gewonnen werclen konnen. 



Diese letztere Beschreibung des Yorganges giebt also genau und vollstandig 

 dasselbe, was die erstere einfachere Angabe, dafs der Weg geradlinig und die Ge- 

 schwindigkeit gleichformig sei, aussagte. Welchen Grund haben wir, diese etwas 

 schwerfalligere Beschreibung zu bevorzugen;' 



Der Grund ist der, dais schon in wenig vervvickelteren Fallen die Bewegung 

 dei 1 einzelnen Massenpuncte nicht mehr geradlinig und gleichformig ist, wohl aber 



