I70b. HELMHOLTZ, Entdeckungsgeschiehte des Princips der kleinsten Action. 285 



die Regel der kiirzesten Zeit stehen bleibt. Setzen wir statt der punctformigen 

 Masse nnseres friiheren Beispiels einen raumlich ausgedehnten festen Korper, nut' 

 den keinerlei aufsere Krafte wirken , die nicht aequilibrirt vvaren, z. B. erne Billard- 

 kugel auf ebener, horizontaler Tafel. Wenn sie angestofsen wird, geht ihr Mittel- 

 punct allerdings in gleichformig geradliniger Bewegung fort. Dagegen kann der 

 Stofs der Kugel auch gleichzeitig eine Rotation gegeben haben , dann beschreiben alle 

 anderen Puncte der Kugel kreisformige Babnen um einen fortriickenden Mittelpunct 

 des Kreises, and ihre Geschwindigkeit wechselt wiederholt zwischen grofseren und 

 kleineren Werthen, da. jedes einzelne Theilchen durch die Rotation bald im Sinne 

 (lei 1 fortschreitenden Bewegung der Kugel, bald ihr entgegengesetzt fortgefiihrt 

 wird. Aber es sind immer gleich viel Theilchen der Kugel, die die eine und die 

 andere Bewegung ausfiihren ; es bleibt daher die lebendige Kraft der ganzen Kugel 

 constant, und wiederum konnen wir sagen : wenn die Kugel zwischen einer vor- 

 geschriebenen Anfangs- und Endlage mit vorgeschriebenem Werthe der lebendigen 

 Kraft so ubergefuhrt worden ist, dafs die Zeitdauer der Bewegung die unter diesen 

 Umstanden kleinstmogliche wurde, so ist ihre Bewegung eine solclie, wie sie sie, 

 sich selbst iiberlassen, hatte ausfiihren konnen. 



Das ftihrt uns nun aber gleich auf eine Complication, die in den metaphysi- 

 schen Streitigkeiten um unser Gesetz eine grofse Rolle gespielt hat. Nelunen wir 

 an, die vorgeschriebene Anfangs- und Endlage sei so gewahlt worden, dafs die 

 Kugel in beiden dieselbe Seite nach derselben Richtung wendet. Sie wiirde dann 

 oline Rotation einfach geradlinig aus der einen in die andere iibergehen konnen. 

 Aber sie konnte dies auch thun, indem sie genau eine, oder zwei, oder iiberhaupt 

 beliebig vie.le gauze Umdrehungen um eine beliebige Achse machte. Je mehr Um- 

 drehungen sie macht, ein desto grofserer Theil ihrer lebendigen Kraft wird auf die 

 Rotation , ein desto kleinerer auf die fortschreitende Bewegung ihres Centrums fallen. 



Da aber die gesammte lebendige Kraft constant gehalten werden soil, so 

 wiirde unter den Bedingungen unserer Berechnung der Ubergang von einer /ur 

 andern Lage desto langsamer erfolgen, je mehr Umdrehungen sie zwischen beiden 

 macht. Es sind also auch noch andere Arten der Bewegung moglich , die mehr 

 Zeit brauchen. um aus der Anfangs- in die Endlage zu gelangen, und die doch 

 moglichen freien Bewegungen der Kugel entsprechen. In diesen Fallen ist nun die 

 Zeit kein absolutes Minimum mehr. Dennoch ist sie ein solches in einein gewissen 

 beschninkteren Sinne, so wie auf einem Gebirgskamme eine Pafshohe ein Minimum 

 der Hohe ist. Fiir den Wanderer, der das Gebirge libersteigen will, ist sie aller- 

 dings das Maximum der Hohe, bis /.u dem er steigen mufs , aber auf jeder anderen 

 Ubergangsstelle wiirde er noch hoher zu steigen haben. Man bezeichnet dies mathe- 

 matisch als ein Maximo -Minimum der Hohe und fafst solche Werthe und die 

 vollstandigen Minima und Maxima der veranderlichen Grofse zusammen unter dem 

 Namen der Grenzwerthe derselben. Bei der Aufsuchung derselben mittels der 

 Differentialrechnung findet man verhaltnifsmafsig leicht, wo die Grenzwerthe /.u 

 finden sind. aber erst durch eine andere, meist weitlauftige und schwierige Rech- 

 nung, ob die gefundenen Grenzwerthe Maxima oder Minima, oder Beides seien. 



Fiir unser Beispiel von der bewegten Billardkugel kann man also nicht all- 

 gemein sagen, die Zeit mtisse ein absolutes Minimum sein, sondern nur, sie miisse 

 ein Grenzwerth sein. Indessen wiirde die Regel vom absoluten Minimum immer 

 noch gelten, wenn man sie auf kleinere Abschnitte der Bewegung anwendet, in 

 denen die Kugel weniger als eine halbe Rotation gemacht hat. 



Wir haben bisher immer noch vorausgesetzt, dafs die Bewegung unabhangig 

 von der Einwirkung aufserer Krafte sei, und wir haben es also bisher nur mit den 

 allgemeinsten Beschreibungen der Wirkungen des Beharrungsvermogens zu thun 

 wie es sich aufsert im Conflict mit festen Verbindungen der schweren 



