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Enfin si x, j, z différaient peu de l'unité, on ferait 

 et l'on parviendrait par de nouvelles transformations à 



i 



ce qu'on obtiendrait aussi plus directement, mais plus péniblement, en 

 chassant le troisième terme de l'équation complète. Prenant pour exemple 

 l'équation de Lagrange a;' — 7 (j? -h i) = o, on aura 



aLx = L7+ 0,43429 (i _ -i- + ^ _. . .). 



La valeur provisoire de J?= v'7 = a, 64 étant évidemment trop faible, on 

 pourrait, pour abréger et simplifier le calcul, essayer d'abord j: = 3 ; mais 

 pour montrer la progression rapide des valeurs successives, on prendra 

 j?= 2,04, qui donnera 3, 1 1, celle-ci 3,o4 et cette dernière 3, 049, comme 

 le trouve Lagrange en déterminant onze coefficients pour l'équation aux 

 carrés des différences des racines, cherchant ensuite les limites de ces ra- 

 cines, et résolvant après plusieurs équations pour obtenir la fraction con- 

 tinue qui donne la valeur de la racine. 



» Euler a donne le développement en série des racines, en admettant que 

 leur valeur approchée est donnée ; mais, sans chercher une pareille approxi- 

 mation, on peut obtenir par le retour des suites, d'après l'équation 

 m -\- nx + px^ + qx* = o, la valeur de 



m pm^ 20 — nq , »' — npg ^ 



x= Î-— K - . . J . m" — ^ — r-i-^ 5 /»*—... ; 



mais pour qu'elle devienne plus convergente, il faudra que — soit aussi 



m 

 n 



faible qu'il se pourra. Pour cela, avec l'équation z* -h az^-h bz-hc =0, 

 on fera 



z = X 4- A:, 



et l'on obtiendra 



x*-h{^k-h a)x'-h{U^+ ^ak + b) X -h k' + ak^ -h M + c = o, 

 et en substituant pour k la suite des nombres naturels, on reconnaîtra faci- 

 lement celui qui rendra — le plus faible. Soit, pour exemple, une autre équa- 



