( 728 ) 

 et en vertu de 



log <p' (x) = log fjL' {x) + log ij.' (cr * j 4- log n.' {x^J -+- log ix' \x^) ■+■ . . 

 on -dix étant quelconque) 



log 9' (:c V = log F' (•^ V + log 1^' ("^^V + 'og F-' (-a?^) + log II' («r») + 

 donc 

 logt|-(ar) - logy'(j?'^)=logÔ(j:)+ \og6(x^) ■+■ \ogô{x^) + ..., 



d'où 



(^3) loge{x)<ïog<i^{x)-log<p'(x^); 



on trouverait aussi 



[iogiJ.ix)^-\oge{x^)] 



[+ [logj:jL'(j:*)- logÔ (a:^)] + . 

 Or la quantité entre parenthèses est essentiellement positive, car 



log^' (x^) > log e (x^); logfi' {x^) > logÔ (x^)...; 



log({;(x)- 2log9'(a:V = logÔ(a:} -■ 



donc 



(^4) 



d'où 



(25) 



et 



(.6) 



logô(x) >logij>(x) — 2log9'(x2), 



\oge{x)<-^Ax + B"'log'x+ C" log^r + D'" logx + E'" 

 — \ \/x -h Blog \/x -h i = t [x), 



\oge{x)> -^Ax-B"log-^x-C"logx 

 -D"a- (^Aylx-^B'\og'\Jx + C\og\/x+D')=t'{x). 



» Maintenant, au moyen des inégalités (aS) et (26), nous pouvons faire 

 voir qu'à partir d'un certain nombre facile à déterminer, 



loge(4j:^)-loge(x)>o, 



et qu'on n'aura jamais log 5(4-^) — log(a:) = o (pour x > 2); i\[ s'ensuit 

 qu'il y a au moins un nombre premier de la forme 4«+ ' compris entre 

 4x et x. 



