( 7^9 ) 

 » En effet, 



(a7) loge(4^)-log9(x)><'(4:c)-<(jr), 



et , 



f{^x) — t{x) = —Ax— •^Av/^4-i'log»a: 



-4- clog* X ■+- dlogx ■+■ e log* s/x -+-/log \/x -t- g, 



b, c, d, e,J\ g sont des valeurs numériques qu'on détermine immédiate- 

 ment et qui sont positives ou négatives; A est essentiellement positif. Po- 

 sons t' {/ix) — t{x) = \J{x). Si nous désignons par x' un nombre positif 

 immédiatement supérieur à la plus grande racine de U {x) = o, nous au- 

 rons U {x') > o, et pour toute valeur x" > x', on aura toujours U"(jc) > o. 

 Donc, à partir de x', il y aura toujours entre x et ^x un nombre premier 

 de la forme ^n -h i ', en remplaçant dans U [x) les coefficients par leurs va- 

 leurs numériques, on trouve que looo est supérieur à la plus grande racine 

 deJ] {x) = o; le théorème est donc démontré à partir de a: = i ooo ; jusque- 

 là on le vérifie directement au moyen des tables. 



» Des raisonnements semblables et des calculs presque identiques servi- 

 raient à faire voir que log v(^x) — log v (a;) > o, ce qui prouve qu'entre 

 J^x et X i[ y a toujours un nombre premier de la forme 4 « -+- 3. » 



GÉOMÉTRIE. — Des propriétés communes à un système de deux lignes de 

 courbure d'une même surface du second ordre et à un système de deux lignes 

 droites situées dans un même plan; par M. Aocst. 



(Commissaires précédemment nommés : MM. Liouville, Lamé, Bertrand.) 



« Théorème. i°. Si, dans un système de deux droites qui se rencontrent 

 on décrit une série de surfaces planes ou sphériques telles, que chacune 

 d'elles les coupe en des points symétriques par rapport à l'axe (bissectrice 

 de l'angle des deux droites), on pourra décrire, dans un système de deux 

 lignes de courbure quelconques d'une surface quelconque du second ordre, 

 symétriques par rapport à l'axe, une seconde série de surfaces planes ou 

 sphériques correspondantes, 'qui les couperont en des points symétriques 

 par rapport à l'axe, et qui seront déterminées lorsque les surfaces de la 

 première série seront déterminées. 



» u". Si, d'un point quelconque des deux droites, on mène des perpen- 

 diculaires /, /' Z",. . ., aux surfaces planes, et des tangentes t, t', t",, . ., aux 



