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 surfaces sphériques de la première série, s'il existe une propriété métrique 

 entre ces tangentes et ces perpendiculaires, la même propriété existera entre 

 les perpendiculaires X, X', X",..., et les tangentes t, t', t",..., menées d'un 

 point quelconque du système de deux lignes de courbure aux surfaces 

 planes et aux surfaces sphériques de la deuxième série. 



» 3°. Si l'on prend dans le système des deux droites la série des points 

 pour lesquels les tangentes t, t\ t", ..., sont respectivement égales à t, t', t", . . . , 

 les perpendiculaires du second système seront dans un rapport constant 

 avec les perpendiculaires correspondantes /, Z', l",. .. du premier. 



» Démonstration. Soit f(l, /', /",..., t, f, t",. . .,) = o la relation métri- 

 que du premier système; si l'on fait tourner le système des deux droites 

 autour de leur axe, elles engendreront une surface conique pour chaque 

 point de laquelle la relation /= o aura lieu. 



» Si nous menons un plan quelconque, ce plan coupera le cône, les 

 plans et les sphères du premier système suivant une conique, suivant des 

 droites et des cercles déterminés de grandeur et de position. Ces droites et 

 ces cercles couperont la conique réellement ou imaginairement en des 

 points symétriques par rapport à son axe; or, il est visible que, la conique 

 étant située sur la surface du cône, chaque point de la conique jouira de 

 la propriété /(<, t\ t",.. .,/,/'/",...) = o. 



» Appelons t, t', t",. . . les tangentes menées d'un point quelconque de 

 la section conique aux cercles d'intersection, et X, X', X",. .[, les perpendicu- 

 laires abaissées du même point aux lignes d'intersection; on aura aussi, 

 pour chaque point de la conique, la relation 



/(r, T', r",..., l,l',l",...) = o; 



et comme X, X', X",. . . sont dans un rapport constant a avec Z, l', l",. . ., on 

 aura pour chaque point de la conique 



■-^ /(r,T',T",..., aX,aX',aX",...) = o. 



» Maintenant faisons tourner le plan de la conique autour de son axe. 

 La conique engendrera une surface de révolution du second ordre, les 

 droites engendreront des plans perpendicidaires à l'axe de la surface, et 

 les cercles, des sphères dont les centres seront situés sur le même axe. Or il a 

 été démontré (Comptes rendus de t Académie des Sciences, t. XLVIII, p. 886) 

 qu'une surface de révolution du second ordre passe par toute ligne de cour- 

 bure tracée sur une surface du second ordre, et qu'elle passe aussi par la 



