( 73. ) 

 ligne de courbure placée sur la même surface symétriquement par rapport à 

 J'axe. Il résulte de là que les surfaces planes et les surfaces sphériques de 

 cette seconde série seront déterminées, qu'elles couperont réellement ou 

 imaginairement le système des deux lignes symétriques de courbure en des 

 points symétriques par rapport à l'axe, et que chaque point de ce système de 

 lignes jouira de la propriété 



y(T, t', t",.-, aX, aX', rtX",...) = o. c. q. f. d. 



» Corollaires. i°. Lorsque les sphères de la première série sont tangentes 

 aux deux ligues droites, les sphères de la seconde sont tangentes réellement 

 ou imaginairement aux deux lignes de courbure. 



» 2°. Lorsque les sphères de la seconde série se réduisent à des points, 

 les tangentes à ces sphères se changent en rayons vecteurs issus de ces 

 points. 



» 3". Si la relationy= o ne contient que deux variables, elle définit, con- 

 jointement avec la surface du second ordre, le système des deux hgnes de 

 courbure. 



» applications. Le théorème que nous venons de démontrer conduit avec 

 une grande facilité à plusieurs propriétés remarquables des lignes de cour- 

 bure des surfaces du second ordre. Je me contente d'énoncer les suivantes : 



» 1°. Si deux lignes de courbure d'une surface du second ordre sont symé- 

 triques par rapport à un axe, et que, d'un point quelconque de cet axe 

 comme centre, on décrive une sphère sécante, elle coupera les deux lignes 

 de courbure en des points symétriques par rapport à l'axe }■ les deux plans 

 passant chacun par quatre points d'intersection symétriques deux à deux 

 par rapport à l'axe seront perpendiculaires à cet axe ; le carré de la tan- 

 gente menée d'iui point quelconque de ces deux lignes de courbure à la 

 sphère sera dans un rapport constant avec le rectangle des perpendiculaires 

 abaissées de ce point sur les deux plans, de sorte que l'on aura 



T= = ani'. 



» 2°. Si dans l'énoncé précédent on construit une sphère sur la portion 

 de l'axe comprise entre les deux plans fixes, tangente à ces deux plans, 

 toute tangente G à cette sphère menée de la projection d'un point quelcon- 

 que des deux lignes de courbure sur l'axe sera dans un rapport constant 

 avec la tangente t menée du même point à la sphère sécante, de sorte que 

 l'on aura 



