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 » Il est évident que notre méthode exi^e essentiellement que n soit en- 

 tier; mais en adoptant une définition nouvelle et plus générale des courbes 

 dérivées, la formule que je viens d'écrire peut s'appliquer au cas de n frac- 

 tionnaire, ou même incommensurable. Un rayon vecteur quelconque de la 

 primitive étant r, imaginons la courbe ayant pour équation polaire, entre 

 les coordonnées R et û, 



I I 



Rn n ^ 



:= r cos - , 

 n 



l'angle Q. étant compté du rayon r; et prenons l'enveloppe de toutes ces 

 courbes qui répondent aux points différents de la primitive. Quel que soit», 

 la longueur de l'arc de cette enveloppe sera exprimée par notre formule 

 ancienne pour s„. Voici donc l'idée des courbes dérivées fractionnaires. On 

 en tire aussi une nouvelle propriété des dérivées entières. 



» On peut présenter encore la n"'"^ dérivée, quel que soit n, comme un 

 lieu géométrique. En effet, considérons toutes les tangentes curvilignes à la 

 primitive, ayant une équation polaire de la forme 



I I 



RTl *^ n 



cos - = a , 



rapportée au point fixe, comme origine. La courbe, lieu des sommets de 

 toutes ces courbes, sera aussi la dérivée de l'ordre n. 



» Quels que soient m et n, la m"'"' dérivée de la Ai'*"" sera la n'^"" dérivée 

 de la m'*""', et elles sont toutes les deux la {m + n)"""' dérivée de la pri- 

 mitive. 



» D'après cela, la dérivée fractionnaire (-) d'une conique, rapportée 



au centre, sera une ellipse de Cassini. Or j'ai prouvé [Journal de Mathéma- 

 tiques, t. X) que toutes les dérivées de l'ellipse 



— = cos' u + 



sin'u 



seront rectifiées par la formule 



, «r^— («_i) (i+ 6> — 7^) b'dr 



as„ = —- — , ■ „ • 



Si l'on y fait « = -5 on aura pour un arc de l'ellipse de Cassini la for- 



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