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 dans la décomposition de la fraction rationnelle 



est égale à 



l.2.3...(« — i) (la"-' 



en posant 



4.(a)(^ — a) 



)) Cette proposition ne diffère pas, au font), de celle qu'a présentée 

 M. Serret [Algèbre supérieure, note IV). Notre intention, en la mettant 

 sous cette forme, est de montrer qu'elle fournit un moyen nouveau et fort 

 simple de résoudre une question que se sont proposée réceu.ment plusieurs 

 mathématiciens. Il s'agit de déduire du développement général d'une frac- 

 tion rationnelle dont le dénominateur n'a que des facteurs inégaux, le dé- 

 veloppement d'une fraction dont le dénominateur admet des facteurs mul- 

 tiples (*). 



p Pour mettre immédiatement en évidence la simplicité du procédé, ap- 

 pliquons-le d'abord au cas de deux facteurs égaux. 



» Soit donc à décomposer la fraction 



F(*) . 



[x-a)m^y 



on lui substitue d'abord celle-ci, 



[x — a) [x — a — /i )i{/ (.r) 



qui se confondra avec la première pour /i = o. D'après la formule admise, 

 la fraction précédente se décompose ainsi 



F(fl) I V{a-irh) i F, (.r) 



— h-i/[a) x — a'^ h^[a + h) x — {a-{-h)~^ 4- (^1 ' 



F, [x) étant une fonction entière qui ne devient pas infinie pour // = o. La 



( * ) Voir en dernier lieu la Note de M. Rouché, insérée dans les Comptes rendus de 1 858 

 (i" semestre, n" 1 1). 



