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 On remarquera que le coefficient numérique — a est toujours un carré 

 divisible par A, sauf le cas du déterminant — i8, le seul qui, n'étant pas 

 le double d'un nombre premier, ne renferme cependant que deux classes 

 dans l'ordre primitif. Mais lorsqu'on a A^ i mod 4, c'est la quantité a-f- 16 

 qui contient A en facteur lorsqu'il est un nombre premier, et le quo- 



tient se présente toujours comme égal a un carre. La même circon- 

 stance se remarque dans les équations 



{x^— x + iy-h (/.{ûc^—acf — o; 



à l'égard de la quantité 4a + 27 (*), qui est également le produit de A par 

 un carré, lorsque A est un nombre premier. 



1) X. Le calcul des polynômes F, [x, A) et Fa (x, A) repose, comme il a 

 été dit, sur la formation de l'équation qui résulte du système, 



ou 



6 (t», m) = o, u* — — V— ' 



en faisant u^z=x {**). Les quantités A, qui répondent dans les deux cas aux 

 valeurs de n pour lesquelles on possède l'équation modulaire, sont indi- 

 quées dans ce tableau : 



(*) L'identité 



en montre l'origine, et donne en même temps une résolution facile des équations ^, (.r, A) =;o, 

 lorsqu'elles sont du 6' degré. 



ITT 



(**) Le système (i', m) = o, c = - , u' =z x, donne aussi une équation en -r dont le 



premier membre est le produit de facteurs qui sont tous de la forme F, (x, A) ou Fj(x, A). 

 Le premier cas a lieu lorsque le nombre «, qui désigne l'ordre de la transformation à laquelle 

 se rapporte l'équation modulaire, est ^ i mod 4, et alors ^^n — p', p étant impair. 

 Si « ^ — 1 mod 4, ce sont les facteurs Fj [x, ^) qui se présentent, A étant encore n — p% 

 mais p devant être supposé pair. 



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